p-gruppe

Givet et primtal p, kalder vi en gruppe G for en p-gruppe, når ordenen af ethvert element i G er en potens af p. G er en endelig p-gruppe hvis og kun hvis ordenen af G er en potens af p. Af Sylows sætninger følger det at enhver endelig gruppe har undergrupper, som er p-grupper.

Eksempler

Lad p være et primtal, da er følgende eksempler på p-grupper

Endelige p-grupper

1. Den cykliske gruppe $C_{p}$ er en abelsk p-gruppe af orden p.
2. Det direkte produkt $C_{p}\times C_{p}$ er en abelsk p-gruppe af orden p².
3. Diedergruppen $D_{4}$ er en ikke-abelsk 2-gruppe af orden 8 som sammen med Quaterniongruppen $Q_{8}$ udgør de mindste ikke-abelske p-grupper.

Uendelige p-grupper

1. Betragt delmængden af de rationale tal på formen ${\frac {a}{p^{k}}}$, hvor a er et heltal og k et ikke-negativt heltal. Med kompositionen addition udgør disse tal modulo 1 en uendelig abelsk p-gruppe. Enhver gruppe isomorf med denne er en $p^{\infty }$-gruppe og kaldes en quasicyklisk gruppe eller en Prüfer p-gruppe efter Heinz Prüfer. Disse grupper er vigtige hvad angår klassificeringen af de endelige abelske grupper.
2. Betragt en uendelig gruppe G, hvor enhver ikke-triviel undergruppe har p elementer. Da er G en uendelig simpel p-gruppe. Gruppen kalder vi for en Tarski p-gruppe opkaldt efter Alfred Tarski og bliver også omtalt som Tarskis monster gruppen. Alexander Ol'shanskii beviste i 1979 at sådanne grupper rent faktisk eksisterede og at der findes en Tarski p-gruppe for ethvert primtal $p>10^{75}$. Grupperne viser sig somme tider at være vigtige, når der skal findes modeksempler til gruppeteoretiske formodninger, bl.a. i forbindelse med Burnside's problem.

Egenskaber

Lad p være et primtal og lad G være en endelig p-gruppe, da har G følgende egenskaber.

1) Hvis $G\neq \{1\}$, har G et ikke-trivielt centrum.

Bevis. Lad Z(G) være centret af G og lad C_G(x) være centralisatoren for $x\in G$. Da gælder ifølge Klasseligningen at

$\vert G\vert =\vert Z(G)\vert +\sum _{j}\vert G:C_{G}(x_{j})\vert ,$

hvor der i summationen er valgt ét element x_j fra hver konjugeretklasse udefor centret. Da $G\neq C_{G}(x_{j})$ idet $x_{j}\notin Z(G)$, så er $\vert G:C_{G}(x_{j})\vert \neq 1$ og $\vert G:C_{G}(x_{j})\vert$ er ifølge Lagranges Indekssætning divisor i ordenen af G som jo er en potens af p, men da må p også være divisor i $\vert Z(G)\vert$, da $\vert Z(G)\vert \neq 0$, hvilket viser at G's centrum er ikke-trivielt.

2) Lad G have orden p². Da er G abelsk.

Bevis. Fra 1) ved vi at der findes et ikke-trivielt element g i G's centrum som enten må have orden p eller p². Hvis ordenen af g er p² er $G=\langle g\rangle$ cyklisk og dermed specielt abelsk. Antag derfor at ordenen af g er p og lad $h\notin \langle g\rangle$. Da g ligger i centrum af G, kommuterer g med alle elementer i G og specielt er undergruppen frembragt af g normal. Altså er $\langle h\rangle \langle g\rangle$ en gruppe som foruden at indeholde undergruppen frembragt af g også indeholder h, så da ordenen af G er p², må vi have at $\langle h\rangle \langle g\rangle =G$. G består derfor af alle produkter på formen hⁱg^j som kommuterer, da g og h kommuterer, hvilket betyder at G er abelsk.

3) Lad G have orden pⁿ. Da findes en kæde af normale undergrupper,

$\{1\}=G_{0}\subset G_{1}\subset G_{2}\subset \cdots \subset G_{n}=G,$

hvor G_i har orden pⁱ. Specielt er G nilpotent.

Bevis. Vi anvender induktion efter n og da påstanden er klar for n=1, antages det at den gælder for n-1 og at n>1. Vi ved fra 1) at der findes et element h forskellig fra identiteten i G's centrum som har orden p^k for et ikke-negativt heltal k, da G er en p-gruppe. Erstatter vi h med h^pk-1, kan vi antage, at h har orden p og den cykliske undergruppe G₁ frembragt af h har derfor orden p. Da ethvert hⁱ ligger i centret, kommuterer det med samtlige elementer i G, så ghⁱg^-1=hⁱ som er et element i G. Heraf følger det at G₁ er en normal undergruppe af G. Betragt nu kvotientgruppen ${\bar {G}}:=G/G_{1}$ som må have orden p^n-1, da G₁ har orden p. Induktivt findes derfor i ${\bar {G}}$ en kæde af normale undergrupper

$\{{\bar {1}}\}={\bar {G}}_{0}\subset {\bar {G}}_{1}\subset {\bar {G}}_{2}\subset \cdots \subset {\bar {G}}_{n-1}={\bar {G}},$

hvor ${\bar {G}}_{i}$ har orden pⁱ. Lad $\kappa :G\rightarrow {\bar {G}}$ være den kanoniske homomorfi og betragt originalmængden $G_{i}:=\kappa ^{-1}({\bar {G}}_{i-1})$ for i=1,...,n. Her er $G_{i-1}\subseteq G_{i}$ og det følger af Noethers anden Isomorfisætning, at G_i er en normal undergruppe i G og $\vert {\bar {G}}:{\bar {G}}_{i-1}\vert =p^{n-1}/p^{i-1}=p^{n-i}$. Altså har G_i orden pⁱ.