Primtal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Et primtal er et positivt heltal større end 1, der ikke er deleligt med andre hele positive tal end 1 og tallet selv, kaldet de trivielle divisorer. Ethvert positivt heltal kan skrives som et produkt af primtal på entydig vis (når der ses bort fra rækkefølgen af primtallene). En sådan opskrivning kaldes tallets primfaktoropløsning, og de indgående primtal kaldes tallets primfaktorer. F.eks. er 60 = 2² × 3 × 5. Det faktum, at ethvert positivt helt tal entydigt kan skrives som et produkt af primfaktorer, kaldes aritmetikkens fundamentalsætning.

Bemærk, at 1 ikke er et primtal i definitionen ovenfor, da der jo netop af et primtal kræves, at det er større end 1. Man kunne godt have defineret 1 til at være et primtal, men det gør den videre udvikling af teorien mere besværlig, idet mange sætninger kun gælder for primtal større end eller lig 2. Det gælder for eksempel for den tidligere oplyste entydighed af primfaktoropløsninger. Hvis 1 var defineret til at være et primtal, ville fx 60 kunne skrives som et produkt af primtal på uendelig mange måder. Derfor er det naturligt at definere 1 til ikke at være et primtal.

Primtal studeres indenfor talteori og danner basis for mange krypteringsalgoritmer.

Hvor mange primtal[redigér | redigér wikikode]

Euklid beviste ca. 300 f.kr., at der findes uendeligt mange primtal. Beviset er et modstridsbevis, idet man antager at man kender alle primtal. Ganger man alle disse tal sammen og lægger en til, får man et tal, der enten er et ikke-kendt primtal, eller som har en ikke kendt primfaktor (idet ingen af dem man kender jo kan gå op).

Flere matematikere har lavet andre beviser for, at der er uendelig mange primtal, specielt har Euler vist, at summen af primtallenes reciprokke værdier ikke konvergerer, men går mod uendelig.

Primtallenes fordeling[redigér | redigér wikikode]

Mens det er let at indse, at der findes uendeligt mange primtal, er det straks langt sværere at få styr på, hvordan primtallene fordeler sig. Hvis man betragter en liste over primtal (som den ovenfor), ser det ud til at være ganske "tilfældigt" og usystematisk, hvornår det næste primtal vil dukke op. Men selvom fordelingen af primtallene er uregelmæssig på lille skala, dukker der en fornem regelmæssighed op, når man betragter antallet af primtal i store områder.

antal primtal under 1.000: 168 (16,8 %)
antal primtal under 1.000.000: 78.498 (7,8 %)
antal primtal under 1.000.000.000: 50.847.534 (5,1 %)
antal primtal under 1.000.000.000.000: 37.607.912.018 (3,8 %)
antal primtal under 1.000.000.000.000.000: 29.844.570.422.669 (3,0 %)
antal primtal under 1.000.000.000.000.000.000: 24.739.954.287.740.860 (2,5 %)
antal primtal under 1.000.000.000.000.000.000.000: 21.127.269.486.018.731.928 (2,1 %)

Primtalssætningen (bevíst i 1896) giver en præcis beskrivelse af denne regelmæssighed. Antallet af primtal mindre end x kan approksimeres med x/(\log x), og den relative fejl ved denne approksimation bliver forsvindende når x går mod uendelig. (Her betegner \log den naturlige logaritme.)

Det er stadig uafklaret, hvor store udsving fra systematikken fra primtalssætningen, der forekommer. Hvis Riemann-hypotesen er sand, er primtallenes fordeling populært sagt så ensartet, som det er teoretisk muligt. Hvis Riemann-hypotesen mod forventning skulle vise sig at være falsk, ville der derimod igennem hele talrækken være forholdsvis store "bump", hvor tætheden af primtallene afveg mere fra den ideelle end den "behøvede".

Liste over primtal[redigér | redigér wikikode]

Primtallene op til 1000 er:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 og 997.

Største kendte primtal[redigér | redigér wikikode]

Med fremkomsten af computere er der sket en kraftig udvikling i det største kendte primtal. Det største kendte primtal har næsten altid været af formen 2n-1, som kaldes mersennetal (bemærk at ikke alle tal på denne form er primtal!). Sidst denne side blev opdateret, var det største kendte primtal 257.885.161-1, det blev fundet den 25. januar 2013 af GIMPS, som er en internetgruppe, der benytter overskydende computertid til at finde mersenneprimtal. Dette tal er på 17.425.170 decimale cifre.

Forskellige grupper af primtal[redigér | redigér wikikode]

Alt efter egenskaber kan primtal kategoriseres i grupper, f.eks.:

Af mere underholdende karakter er de såkaldte "James Bond primtal", der er primtal der ender med 007. De fire første er 7 (007), 4007, 6007 og 9007[1][2].

Ubesvarede spørgsmål[redigér | redigér wikikode]

  • Ovennævnte Riemann-hypotese opfattes af de fleste som det vigtigste ubesvarede spørgsmål i matematikken.
  • Det vides ikke, om der findes uendelig mange primtalstvillinger. I 2013 beviste Zhang Yitang, at der findes uendeligt mange "par" af primtal, hvor forskellen mellem de to primtal er mindre end 7\cdot 10^7.
  • Goldbachs formodning siger, at ethvert lige heltal større end 2 kan skrives som summen af to primtal. Man har afprøvet denne formodning for meget store tal og har endnu ikke fundet noget modeksempel. Det vides imidlertid ikke om formodningen er sand. Et bevis angående Golbachs Formodning kan have to udfald: "1. Formodningen er sand. 2. Formodningen er falsk.". Hvis formodningen er falsk er man garanteret eksistensen af et bevis herfor. Derimod kan formodningen godt være sand men ubeviselig. Der kan dog ikke eksistere et bevis for at Goldbachs formodning er uløselig (sådan som det for eksempel er blevet bevist for kontinuumhypotesen), da man heraf ville kunne slutte at formodningen er sand og dermed ikke uløselig.

Andre egenskaber[redigér | redigér wikikode]

  • Ethvert primtal større end 3 har en "nabo" i 6-tabellen (fx er 5 nabo til 6, 11 er nabo til 12 osv.). Dette kan man let vise ved at kigge på den rest et primtal må have ved division med 6. Det er let at se, at resten altid må være 1 eller 5, idet 0, 2 og 4 udelukkes af at 2 ellers ville gå op, mens 3 udelukkes af at 3 ville gå op, hvilket strider mod at tallet er et primtal større end 3.

Dette betyder ikke, at en rest på 1 eller 5 ved division med 6 samtidig er en indikator på, om tallet (dividenden) er et primtal. For eksempel er resten ved division af 25 med 6 lig med 1.

  • Med undtagelse for 2 og 5 har alle andre primtal en sidste cifre af 1 (fra tallet 11 og større) , 3, 7 eller 9.
  • Følgende serie af primtal er meget intressant:

31, 331, 3 331, 33 331, 333 331, 3 333 331 er alle primtal. Før computernes tid var matematikerne rimeligt overbevisede om at den slags tal sandsynligvis altid er primtal. Men beviser manglede for antagelsen at serien skulle fortsættes. Man fandt senere ud af at 33 333 331 også er et primtal. Men så opdagedes lige vel at 333 333 331 ikke er et primtal, da 17 x 19 607 843 = 333 333 331. Dette udgører et godt eksempel på at matematiske antagelser trænger til beviser.

Se også[redigér | redigér wikikode]

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]

  1. Jens Ramskov, "Primtal: Fakta og Formodninger", Ingeniøren, nummer 47, 24. november 2006.
  2. David Wells, Primtal – Matematikkens gådefulde tal fra A-Ø, Nyt Teknisk Forlag, ISBN 87-571-2561-9