Plan (matematik)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

En matematisk plan er det fundamentale todimensionelle objekt. Det kan visualiseres som et fladt stykke papir, som breder sig uendeligt i alle retninger. De fleste trigonometriske, geometriske og grafiske operationer udføres i sådan en plan. I en given plan kan der introduceres et koordinatsystem, som gør os i stand til at referere til samtlige punkter i planen.

En plan kan defineres ud fra en af følgende metoder:

  • Tre punkter, som ikke ligger på linje.
  • En linje og et punkt, som ikke ligger på linjen.
  • En vektor, der står vinkelret på planen, og kaldes for normalvektor for planen og et punkt i planen.
  • To linjer, der enten skærer hinanden i et enkelt punkt, eller er parallelle uden at være kollineære.

Selve planen er repræsenteret ved planens ligning, som er:

hvor planen er orienteret vinkelret på normalvektoren givet ved koordinaterne . Alle vektorer, som er parallelle med vil også være normalvektorer til planen. Planer med samme normalvektor, men med forskelligt , vil være parallelle.


Hvis man ikke kender en normalvektor, kan den udregnes som krydsproduktet mellem to vilkårlige, egentlige vektorer i planen, som ikke er parallelle. Normalvektoren giver normalretningen for planen.

For at finde , er man yderligere nødt til at kende et punkt i planen. Da er

Planen der indeholder x- og y-akserne, kaldes x-y-planen og har ligningen . Tilsvarende gælder for x-z-planen med ligning og y-z-planen med ligning .

Et punkts afstand til planen[redigér | redigér wikikode]

Afstanden fra et vilkårligt punkt i vektorrummet til planen, , kan findes ved at indsætte koordinaterne for punktet i denne ligning:

hvor og er koefficienterne til planens ligning. Hvis punktet ligger i planen, er .


Andre betydninger[redigér | redigér wikikode]

For andre betydninger af ordet, se plan