Plan (matematik)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Disambig bordered fade.svg For alternative betydninger, se plan. (Se også artikler, som begynder med plan)
To planer der skærer hinanden.

En matematisk plan eller plan flade er det fundamentale todimensionelle objekt.

Et plan kan visualiseres som et fladt stykke papir, som breder sig uendeligt i alle retninger. De fleste trigonometriske, geometriske og grafiske operationer udføres i sådan en plan. I en given plan kan der introduceres et koordinatsystem, som gør os i stand til at referere til samtlige punkter i planen.

En plan kan defineres ud fra en af følgende metoder:

  • Tre punkter, som ikke ligger på linje.
  • En linje og et punkt, som ikke ligger på linjen.
  • En vektor, der står vinkelret på planen, og kaldes for normalvektor for planen og et punkt i planen.
  • To linjer, der enten skærer hinanden i et enkelt punkt, eller er parallelle uden at være kolineære.

Selve planen er repræsenteret ved planens ligning, som er:

hvor planen er orienteret vinkelret på normalvektoren givet ved koordinaterne . Alle vektorer, som er parallelle med vil også være normalvektorer til planen. Planer med samme normalvektor, men med forskelligt , vil være parallelle.

Hvis man ikke kender en normalvektor, kan den udregnes som krydsproduktet mellem to vilkårlige, egentlige vektorer i planen, som ikke er parallelle. Normalvektoren giver normalretningen for planen.

For at finde , er man yderligere nødt til at kende et punkt i planen. Da er

Planen der indeholder - og -akserne, kaldes -planen og har ligningen . Tilsvarende gælder for -planen med ligning og -planen med ligning .

Et punkts afstand til planen[redigér | redigér wikikode]

Afstanden fra et vilkårligt punkt i vektorrummet til planen, , kan findes ved at indsætte koordinaterne for punktet i afstandsformlen:

hvor og er koefficienterne i planens ligning. Hvis punktet ligger i planen, er .