Plan (matematik)
For alternative betydninger, se plan. (Se også artikler, som begynder med plan)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7b/PlaneIntersection.png/220px-PlaneIntersection.png)
Et matematisk plan eller en plan flade er det fundamentale todimensionelle objekt.
Et plan kan visualiseres som et fladt stykke papir, som breder sig uendeligt i alle retninger. De fleste trigonometriske, geometriske og grafiske operationer udføres i sådan et plan. I et givet plan kan der introduceres et koordinatsystem, som gør os i stand til at referere til samtlige punkter i planet.
Et plan kan defineres ud fra en af følgende metoder:
- Tre punkter, som ikke ligger på linje.
- En linje og et punkt, som ikke ligger på linjen.
- En vektor, der står vinkelret på planet, og kaldes for normalvektor for planet, og et punkt i planet.
- To linjer, der enten skærer hinanden i et enkelt punkt, eller er parallelle uden at være kolineære.
Planet kan fremstilles ved en ligning af formen
Planet står vinkelret på normalvektoren med koordinaterne . Alle vektorer, som er parallelle med , vil også være normalvektorer til planet. Planer med samme normalvektor, men med forskellig værdi af , vil være parallelle.
Som normalvektor kan man benytte krydsproduktet af to vilkårlige, egentlige ikke-parallelle vektorer i planet. Normalvektoren giver normalretningen for planet.
For at finde er man yderligere nødt til at kende et punkt i planet. Da er
Planet der indeholder - og -akserne, kaldes -planet og har ligningen . Tilsvarende gælder for -planet, hvis ligning er og -planet med ligning .
Afstand mellem punkt og plan
[redigér | rediger kildetekst]Afstanden fra et vilkårligt punkt i rummet til et plan, , kan findes ved at indsætte koordinaterne for punktet i afstandsformlen:
hvor og er koefficienterne i planets ligning. Hvis punktet ligger i planet, er .