Sinusbølge

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

En sinusbølge (sinussvingning eller sinusoide) er en matematisk funktion der bliver brugt i f.eks. signalanalyse og fysik. I den simpleste form kan den skrives:

x(t) = A \cos(\omega t + \phi)

Det er således en almindelig cosinus (eller sinus) funktion der er skaleret med amplituden (udsvinget) A, forskubbet med et faseskift φ (phi), og frekvensen er ændret med vinkelhastigheden ω (omega).

I stedet for formen med vinkelhastigheden kan den også skrives med frekvensen (den cykliske frekvens) f:

x(t) = A \cos(2 \pi f t + \phi).

Den kan også omskrives til at bruge svingningstiden (perioden) T = 1/f:

x(t) = A \cos(2 \pi t / T + \phi).

Endelig kan man skrive en sinusbølge som en sum af komplekse eksponenter

x(t) = \frac{A}{2}e^{j(\omega t + \phi)}+\frac{A}{2}e^{-j(\omega t + \phi)}.

hvor j er det imaginære tal \sqrt{-1}. Denne form nåes ved at anvende den omvendte Eulers formel for cosinus.

Regneregler for sinusbølger[redigér | redigér wikikode]

Når to eller flere sinusbølger lægges sammen, og de har samme frekvens, er resultatet en ny sinusbølge med ændret amplitude og ændret fase, dvs.

\sum_{k=1}^K A_k \cos(\omega_0 t + \phi_k) = A \cos(\omega_0 t + \phi)

Sammenlægningen kan udføres ved hjælp af såkaldt "fasoraddition".

Har sinusbølgerne forskellig frekvens vil deres sum ikke være en sinusbølge.

Fasorrepræsentation[redigér | redigér wikikode]

En sinusbølges amplitude og faseskift kan også repræsenteres med en såkaldt fasor, der er et komplekst tal. For sinusbølgen x(t) = A \cos(\omega t + \phi) er fasoren:

X = A e^{j\phi}

Dette er en bekvem måde at repræsentere sinusbølger på hvis de har samme frekvens og skal lægges, for eksempel:

x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A_1 \cos(\omega_1 t + \phi_1) + A_2 \cos(\omega_1 t + \phi_2)

Fasoren for den resulterende sinusbølge bliver derefter blot en addition med to komplekse tal

X = X_1 + X_2 = A_1 e^{j\phi_1} + A_2 e^{j\phi_2}

Multiplikation[redigér | redigér wikikode]

Bliver to sinusbølger ganget med hinanden svarer det til amplitudemodulation.