Tællelig mængde: Forskelle mellem versioner
SuneJ (diskussion | bidrag) Tilføjede bl.a. cantors diagonalbevis. Hvor meget skal der til før den ikke er en stub? |
Sir48 (diskussion | bidrag) m typo og linkfix |
||
| Linje 1: | Linje 1: | ||
En '''tællelig mængde''' er en [[mængde]] der er har samme antal elementer som de naturlige tal, eller ækvivalent, en mængde A er tællelig hvis og kun hvis der findes en bijektiv funktion fra A til de naturlige tal. Uformelt kan man sige at en mængde A er tællelig uendelig hvis man kan skrive elementerne i en uendelig lang liste. Mængder der er mindre end tællelige kaldes [[Endelig mængde|endelige]], og de større kaldes for [[Overtællelig mængde|overtællelige]]. Bemærk at nogle også kalder endelige mængder for tællelige. |
En '''tællelig mængde''' er en [[mængde]] der er har samme antal elementer som de naturlige tal, eller ækvivalent, en mængde A er tællelig hvis og kun hvis der findes en bijektiv funktion fra A til de naturlige tal. Uformelt kan man sige at en mængde A er tællelig uendelig hvis man kan skrive elementerne i en uendelig lang liste. Mængder der er mindre end tællelige kaldes [[Endelig mængde|endelige]], og de større kaldes for [[Overtællelig mængde|overtællelige]]. Bemærk at nogle også kalder endelige mængder for tællelige. |
||
Eksempler på tællelige mængder er de [[hele tal]] og de [[ |
Eksempler på tællelige mængder er de [[hele tal]] og de [[rationale tal]]. Mængden af de hele tal (...,-2, -1, 0, 1, 2,...) er tællelig, fordi man kan liste elementerne: 0, 1, -1, 2, -2,.... De positive rationelle tal kan også listes: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, (2/2), 3/1, 1/4,... Man lister de rationelle tal først efter summen af tæller og nævner og derefter efter tæller. 2/2 er indsat i parentes for at vise systemet, men tæller ikke med da 1/1 allerede er i listen. Alle de rationale tal kan så listes ved at flette de positive og negative sammen på samme måde som med de hele tal. |
||
Eksempler på utællelige mængder er mængden af de [[reelle tal]] og mængden af uendelige [[talfølge|følger]] af 0 og 1-taller. |
Eksempler på utællelige mængder er mængden af de [[reelle tal]] og mængden af uendelige [[talfølge|følger]] af 0 og 1-taller. |
||
Versionen fra 25. aug. 2007, 11:48
En tællelig mængde er en mængde der er har samme antal elementer som de naturlige tal, eller ækvivalent, en mængde A er tællelig hvis og kun hvis der findes en bijektiv funktion fra A til de naturlige tal. Uformelt kan man sige at en mængde A er tællelig uendelig hvis man kan skrive elementerne i en uendelig lang liste. Mængder der er mindre end tællelige kaldes endelige, og de større kaldes for overtællelige. Bemærk at nogle også kalder endelige mængder for tællelige.
Eksempler på tællelige mængder er de hele tal og de rationale tal. Mængden af de hele tal (...,-2, -1, 0, 1, 2,...) er tællelig, fordi man kan liste elementerne: 0, 1, -1, 2, -2,.... De positive rationelle tal kan også listes: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, (2/2), 3/1, 1/4,... Man lister de rationelle tal først efter summen af tæller og nævner og derefter efter tæller. 2/2 er indsat i parentes for at vise systemet, men tæller ikke med da 1/1 allerede er i listen. Alle de rationale tal kan så listes ved at flette de positive og negative sammen på samme måde som med de hele tal.
Eksempler på utællelige mængder er mængden af de reelle tal og mængden af uendelige følger af 0 og 1-taller.
At den sidstnævnte mængde er utællelig kan vises med Cantor's diagonalbevis: Antag at man kan liste alle uendelige følger at 0 og 1-taller. Listen kunne f.eks. starte:
- s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
- s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
- s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)
- s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)
- s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...)
- s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)
- s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)
- ...
Men følgen, hvis n'te led er forskelligt fra n'te led i sn kan ikke stå på listen:
- s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
- s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
- s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)
- s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)
- s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...)
- s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)
- s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)
- ...
- s0 = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, ...)
Denne følge kan ikke være i overstående liste. Antag at den f.eks. er det 10. element på overstående liste. Fra definitionen på følgen er dens 10. element forskellig fra 10. element i s10, og den kan derfor ikke være 10. element på listen. Modstrid.
 | Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den. |