Cosinusrelation: Forskelle mellem versioner
m r2.7.1) (Robot tilføjer gl:Teorema do coseno |
→Bevis: dette bevis er kun gyldigt når vinkel B er spids |
||
Linje 21: | Linje 21: | ||
Linjen fra vinklen A til siden a = højden (h). |
Linjen fra vinklen A til siden a = højden (h). |
||
<span style="font-size:120%;"> '''Bevis for cosinusrelationen b² = c² + a² - 2a <math> \cdot </math> c <math> \cdot </math> cos(B): '''</span> |
<span style="font-size:120%;"> '''Bevis for cosinusrelationen b² = c² + a² - 2a <math> \cdot </math> c <math> \cdot </math> cos(B) hvis vinkel B er spids: '''</span> |
||
Med pythagoras får man af den grå trekant: (a - x)² + h² = b² ⇔ h² = b² - (a - x)². |
Med pythagoras får man af den grå trekant: (a - x)² + h² = b² ⇔ h² = b² - (a - x)². |
Versionen fra 26. apr. 2012, 11:40
Cosinusrelationer er trigonometriske formler der bestemmer cosinus til vinklerne i en trekant hvori man kender sidernes længder. Kaldes siderne for a, b og c og deres modstående vinkler for hhv. A, B og C skrives formlerne således:
For bestemmelse af sider kan denne omskrivning bruges:
Bemærk at cosinusrelationen gælder for alle trekanter, ikke kun retvinklede trekanter som den på billedet.
For at bruge formlen til noget nyttigt skal man i én af ovenstående ligninger isolere enten en side eller en vinkel på den ene side af lighedstegnet. Løser man ligningen med hensyn til en vinkel, er der i princippet uendeligt mange vinkler hvis cosinus er lig med en given størrelse, men da vinkelsummen i en trekant altid er 180°, er det kun den såkaldt principale løsning (som altid ligger mellem 0 og 180°) der giver mening i trekantberegninger.
Bevis
For at bevise cosinusrelationerne tegner man en trekant, som man deler op i to trekanter (for at få rette vinkler at regne med). Linjen fra vinklen A til siden a = højden (h).
Bevis for cosinusrelationen b² = c² + a² - 2a c cos(B) hvis vinkel B er spids:
Med pythagoras får man af den grå trekant: (a - x)² + h² = b² ⇔ h² = b² - (a - x)².
Og tilsvarende af den anden trekant: h² + x² = c² ⇔ h² = c² - x².
Nu er h² isoleret i hver af disse ligninger. De kan derfor sættes lig hinanden:
b² - (a - x)² = c² - x².
Nu skal b² isoleres, derfor får man: b² = c² - x² + (a - x)².
Parenteserne i denne ligning udregnes: b² = c² - x² + a² - 2ax + x².
Dette reduceres til: b² = c² + a² - 2ax.
Vinkel B (i den hvide retvinklede trekant) kan udregnes af: cos(B) = x / c Ved at isolere x i denne ligning får man: x = cos(B) · c.
Da x = cos(B) · c kan man i ligningen b² = c² + a² - 2ax fra før, erstatte x'et med cos(B) · c.
Dvs. b² = c² + a² - 2ax ⇔ b² = c² + a² - 2a · c · cos(B).
Q.E.D
Nu er beviset færdigt.
De andre former af cosinusrelationen bevises på tilsvarende måde.
Se også
Eksterne henvisninger
CosSinCalc - Et online-værktøj, der udregner siderne og vinklerne på en trekant for dig.