Spring til indhold

Cosinusrelation

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
En generel trekant med siderne a, b og c og vinkler A, B og C.

Cosinusrelationer er trigonometriske formler der bestemmer cosinus til vinklerne i en trekant hvori man kender sidernes længder. Kaldes siderne for a, b og c og deres modstående vinkler for hhv. A, B og C skrives formlerne således:[1]

For bestemmelse af sider kan denne omskrivning anvendes:

Bemærk at cosinusrelationen gælder for alle trekanter, ikke kun retvinklede trekanter. På grund af lighed med Pythagoras' læresætning kaldes cosinusrelationen også den udvidede Pythagoras.

Ved anvendelse af cosinusrelationerne vil man i én af ovenstående ligninger isolere enten en side eller en vinkel. Løser man ligningen med hensyn til en vinkel, er der i princippet uendeligt mange løsninger. Da en vinkel i en trekant altid er mellem 0° og 180° vælger vi den såkaldt principale løsning.

Cosinusrelationen kaldes også den udvidede Pythagoræiske læresætning. Hvis ovenfor er en ret vinkel gælder . Da reduceres cosinusrelationen netop i dette tilfælde til Pythagorases læresætning

Bevis for cosinusrelationerne

For at bevise cosinusrelationerne tegner man en trekant, som man deler op i to trekanter (for at få rette vinkler at regne med). Linjen fra vinklen A til siden a = højden (h).

Bevis for cosinusrelationen b² = c² + a² – 2a c cos(B) hvis vinkel B er spids:

Med pythagoras får man af den grå trekant: (a – x)² + h² = b² ⇔ h² = b² – (a – x)².

Og tilsvarende af den anden trekant: h² + x² = c² ⇔ h² = c² – x².

Nu er h² isoleret i hver af disse ligninger. De kan derfor sættes lig hinanden:

b² – (a – x)² = c² – x².

Nu skal b² isoleres, derfor får man: b² = c² – x² + (a – x)².

Parenteserne i denne ligning udregnes: b² = c² – x² + a² – 2ax + x².

Dette reduceres til: b² = c² + a² – 2ax.

Vinkel B (i den hvide retvinklede trekant) kan udregnes af: cos(B) = x / c Ved at isolere x i denne ligning får man: x = cos(B) · c.

Da x = cos(B) · c kan man i ligningen b² = c² + a² – 2ax fra før, erstatte x'et med cos(B) · c.

Dvs. b² = c² + a² – 2ax ⇔ b² = c² + a² – 2a · c · cos(B).

Q.E.D

Nu er beviset færdigt.

De andre former af cosinusrelationen bevises på tilsvarende måde.

Cosinusrelationen for sfæriske trekanter

[redigér | rediger kildetekst]
Sfærisk trekant

For sfæriske trekanter på en kugleoverflade gælder gælder andre formler som også hedder cosinusrelationerne. De sfæriske cosinusrelationer er:[2]

  • Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3
  • Schultz, Jonny (1990): Matematik højniveau 1 - plangeometri og rumgeometri. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-16-7
  1. ^ Holth (1987) s. 60
  2. ^ Schultz (1990) s. 106-108

Eksterne henvisninger

[redigér | rediger kildetekst]

CosSinCalc – Et online-værktøj, der udregner siderne og vinklerne på en trekant for dig.