0,999...=1

0.99999...

0,999… (kan også skrives som $0.{\bar {9}}$ eller $0.{\dot {9}}$) er inden for matematik tallet 1. Med andre ord repræsenterer tallene 0,999… og 1 samme reelle tal. Matematikere har formuleret flere matematiske beviser for dette.

Bevis

Brøkbevis

${\begin{aligned}0,333\dots &={\frac {1}{3}}\\3\times 0,333\dots &=3\times {\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1}{3}}\\0,999\dots &=1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}0,111\dots &={\frac {1}{9}}\\9\times 0,111\dots &=9\times {\frac {1}{9}}={\frac {9\times 1}{9}}\\0,999\dots &=1\end{aligned}}$

Algebrabevis

${\begin{aligned}x&=0,999\ldots \\10x&=9,999\ldots \\10x-x&=9,999\ldots -0,999\ldots \\9x&=9,999\ldots -0,999\ldots \\9x&=9\\x&=1\\0,999\ldots &=1\end{aligned}}$

Analytisk "bevis"

Værdien af det uendelige decimaltal 0,999... er defineret som det tal som følgen 0 0,9 0,99 0,999 ... konvergerer mod.
Påstanden at 0,999...=1 betyder altså (blot) at det tal som følgen 0 0,9 0,99 0,999 ... konvergerer mod er 1. Og det er jo unægteligt sandt, da fra et eller andet sted i følgen der ligger alle elementer vilkårligt tæt på 1.
(Men det ændrer selvfølgelig ikke på at selvom følgen 0 0,9 0,99 0,999 ... konvergerer mod 1, så når den aldrig 1)

Se også

• Decimaltal
• Uendeligt decimaltal
• Reelle tal

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.