Kasteparabel

Kasteparablen er den kurve/bane som et legeme vil følge ved et skråt kast. Man kan beregne selve banen for det legeme der affyres/kastes, og dermed længden og højden af kastet, ved at kende affyringshastigheden og affyringsvinklen (derfor navnet det skrå kast). Dette gøres generelt uden at tage højde for luftmodstand, corioliseffekten og lignende. Kasteparablen tager form som en matematisk parabel som det vises nedenfor, deraf navnet.

Formler

Her kan du se, hvordan formen af kasteparablen ændrer sig med vinklen, der kastes med. Læg mærke til, at den vandrette afstand i affyringshøjden er størst ved en vinkel på 45°.

For et legeme der skydes/kastes afsted fra startpunktet $(x_{0},y_{0})=(0,0)$, med starthastighed $v_{0}$ og affyringsvinkel $\alpha$ i forhold til vandret, er kasteparablen givet ved

$y(x)=-{\frac {g}{2\cdot v_{0}^{2}\cdot \cos ^{2}(\alpha )}}\cdot x^{2}+\tan(\alpha )\cdot x.$

hvor $g=9.8{\text{m}}/{\text{s}}^{2}$ er tyngdeaccelerationen.

Den maksimale kastelængde $x_{\text{max}}$ og kastehøjde $y_{\text{max}}$ er givet ved

$x_{\text{max}}={\frac {v_{0}^{2}\cdot \sin(2\alpha )}{g}}\qquad y_{\text{max}}={\frac {v_{0}^{2}\cdot \sin(\alpha )^{2}}{2g}}\,,$

og den optimale affyringsvinkel for at kaste længst muligt er

$\alpha _{\text{optimal}}=45^{\circ }\,.$

Udledning

Når formlen for kasteparablen udledes, tages luftmodstanden ikke i betragtning, da den umuliggør både en parabel og den analytiske metode i det hele taget – se også afsnittet om det skrå kast ved luftmodstand. Kasteparablen beskriver derved et legeme, der bliver sendt afsted uden luftmodstand ved en given vinkel, $\alpha$, i forhold til vandret; denne vinkel kaldes elevationen. Legemet har en given starthastighed, ${\vec {v}}_{0}$. Hastigheden betragtes som en vektor, hvis koordinater er

${\vec {v}}_{0}={v_{0}\cdot \cos(\alpha ) \choose v_{0}\cdot \sin(\alpha )}.$

Så snart legemet er sendt af sted, er det ikke påvirket af andre kræfter end tyngdekraften. Tyngdeaccelerationen er lodret og nedadrettet. Derfor må hastigheden i x-aksens retning være konstant og givet ved

$v_{x}=v_{0}\cdot \cos(\alpha ).$

På samme måde kan vi bestemme stedet, hvor legemet befinder sig på et givent tidpunkt ved bevægelse med konstant hastighed ved

$x=v_{0}\cdot \cos(\alpha )\cdot t+x_{0},$

hvor $x_{0}$ er positionen til tiden $t=0$.

Accelerationen i lodret plan er en jævn acceleration, og er lig −g, da legemet påvirkes af den lodret virkende og konstante tyngdekraft. Det negative fortegn giver accelerationen retningen nedad. Der benyttes derfor bevægelse med konstant acceleration til at beskrive bevægelsen i y-aksens retning. Denne bliver derfor

$v_{y}=-g\cdot t+v_{0}\cdot \sin(\alpha ),$

og y-koordinaten på et givent tidpunkt kan udledes ved stedformlen for bevægelse med konstant acceleration og dermed beskrives som

$y=-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot t^{2}+v_{0}\cdot \sin(\alpha )\cdot t+y_{0},$

hvor $y_{0}$ er positionen til tiden $t=0$.

At kastebanen har form som en matematisk parabel kan ikke umiddelbart ses ud fra dette. Dette skal vises. Der ses – ud fra udtrykket for x-koordinaten – at man kan bestemme det tidspunkt, hvor legemet har en given hastighed og x-koordinat ved

$x=v_{0}\cdot \cos(\alpha )\cdot t+x_{0}$,

$t={\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cdot \cos(\alpha )}}.$

For hvert tidspunkt og x-koordinat, må der være en tilhørende y-koordinat. Ovenstående "tids-formel" kan derfor indsættes i y-koordinat-formlen

${y(x)=-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot \left({\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cdot \cos(\alpha )}}\right)^{2}+v_{0}\cdot \sin(\alpha )\cdot {\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cdot \cos(\alpha )}}+y_{0}=-{\frac {g}{2\cdot v_{0}^{2}\cdot \cos ^{2}(\alpha )}}\cdot (x-x_{0})^{2}+\tan(\alpha )\cdot (x-x_{0})+y_{0}.}$

Dermed ses det, at leddene foran "$(x-x_{0})^{2}$" og "$(x-x_{0})$" udelukkende består af konstanter.

Hvis man starter bevægelsen i $(x_{0},y_{0})=(0,0)$ reduceres kasteparablen til

$y(x)=-{\frac {g}{2\cdot v_{0}^{2}\cdot \cos ^{2}(\alpha )}}\cdot x^{2}+\tan(\alpha )\cdot x.$

Beregning af maksimal kastelængde og højde

Ovenstående udtryk for kasteparablen giver al den nødvendige information til at beregne hvor langt og hvor højt et legeme vil bevæge sig. For enkelthedens skyld, antages det at startpositionen er $(x_{0},y_{0})=(0,0)$.

Det første man kan beregne er hvornår legemet rammer jorden. Denne situation svarer til at kasteparablen skærer x-aksen, dvs. $y(x)=0$,

$0=-{\frac {g}{2\cdot v_{0}^{2}\cdot \cos ^{2}(\alpha )}}\cdot x^{2}+\tan(\alpha )\cdot x.$

som løses ved brug af standardløsningsformlen for nulpunkter i et andengradspolynomium,

$x={\frac {-\tan(\alpha )\pm {\sqrt {\tan(\alpha )^{2}-4\cdot \left(-{\frac {g}{2\cdot v_{0}^{2}\cdot \cos(\alpha )^{2}}}\right)\cdot 0}}}{2\cdot \left(-{\frac {g}{2\cdot v_{0}^{2}\cdot \cos(\alpha )^{2}}}\right)}}$

$x={\frac {-\tan(\alpha )\pm {\sqrt {\tan(\alpha )^{2}}}}{-{\frac {g}{v_{0}^{2}\cdot \cos(\alpha )^{2}}}}}=-{\frac {-\tan(\alpha )\pm \tan(\alpha )}{\frac {g}{v_{0}^{2}\cdot \cos(\alpha )^{2}}}}$

$x=0\quad {\text{eller}}\quad x={\frac {2\cdot v_{0}^{2}\cdot \tan(\alpha )\cdot \cos(\alpha )^{2}}{g}}={\frac {2\cdot v_{0}^{2}\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )}{g}}$

Løsningen $x=0$ giver bare skæringen med y-aksen i startpunktet $(x_{0},y_{0})=(0,0)$, og er derfor ikke relevant. Den anden løsning giver derimod den maksimale kastelængde,

$x_{max}={\frac {2\cdot v_{0}^{2}\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )}{g}}={\frac {v_{0}^{2}\cdot \sin(2\alpha )}{g}}$

hvor det er brugt at $2\sin(\alpha )\cos(\alpha )=\sin(2\alpha )$.

Direkte af denne formel ses det at den optimale kastevinkel for at kaste længst muligt er

$\alpha _{\text{optimal}}=45^{\circ }\,.$

Dette resultat ses ud fra, at hvis $x_{\text{max}}$ skal være størst muligt, skal $\sin(2\alpha )=1$. Da $\sin(90^{\circ })=1$, må $\alpha _{\text{optimal}}={\frac {90}{2}}=45^{\circ }$.

Der hvor legemet er højest over startpunktet kan findes ved at bruge symmetri. Parablen er symmetrisk omkring toppunktet, dvs. der hvor legemet vender retning og har opnået sin maksimale højde. Dette betyder at x-værdien for toppunktet ligger midt mellem parablens skæring med x-aksen,

$x_{\text{top}}={\frac {1}{2}}x_{\text{max}}={\frac {v_{0}^{2}\cdot \sin(2\alpha )}{2g}}$

Herfra findes højden i dette punkt, ved at indsætte $x_{\text{top}}$ i udtrykket for $y(x)$,

${y_{\text{max}}=y(x_{\text{top}})=-{\frac {g}{2\cdot v_{0}^{2}\cdot \cos ^{2}(\alpha )}}\cdot \left({\frac {v_{0}^{2}\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )}{g}}\right)^{2}+\tan(\alpha )\cdot {\frac {v_{0}^{2}\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )}{g}}=-{\frac {v_{0}^{2}\cdot \sin(\alpha )^{2}}{2g}}+{\frac {v_{0}^{2}\cdot \sin(\alpha )^{2}}{g}}}$

$y_{\text{max}}={\frac {v_{0}^{2}\cdot \sin(\alpha )^{2}}{2g}}\,.$

Heraf ses det, logisk nok, at den maksimale højde nås ved et lodret kast med en affyringsvinkel på $\alpha =90^{\circ }$, da $\sin(90^{\circ })=1$.

Beregning af hastigheden

Den resulterende hastighed kan beregnes ud fra x-hastigheden og y-hastigheden. Da der er tale om vektorer, kan man tegne kræfternes parallelogram, der dog ikke har noget med kræfter at gøre i denne anvendelse.

Da hastighederne har en x-retning og en y-retning, må de være vinkelret på hinanden. Dermed danner de med den resulterende hastighed en retvinklet trekant, hvor x-hastigheden er den ene katete, y-hastigheden er den anden katete, og den resulterende hastighed er hypotenusen. Ifølge den pythagoræiske læresætning har man at

$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}.\,$

Med de tidligere fundne udtryk for x-hastigheden og y-hastigheden har man:

$v={\sqrt {(v_{0}\cdot \cos(\alpha ))^{2}+(-g\cdot t+v_{0}\cdot \sin(\alpha ))^{2}}}.\,$

Det lodrette kast

I tilfælde af at objektet kastes lodret op, dvs. vinklen $\alpha =90^{\circ }$, så reduceres hovedformlerne for det skrå kast væsentligt. Højden er nu kun en funktion af tiden

$y(t)=-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot t^{2}+v_{0}\cdot t+y_{0},$

og den maksimale højde er givet ved

$y_{\text{max}}=y_{0}+{\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\,$

Det skrå kast med luftmodstand

Inkluderes luftmodstand i beregninger for det skrå kast, kan man ikke længere opstille en model analytisk, dvs. som en funktion, og der er ikke længere tale om en parabelbane. I stedet er man nødt til at beregne legemets bane numerisk. To forskellige metoder til dette er Eulers metode og Runge-Kutta-metoden.