Spektrum (funktionsanalyse)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Begrebet spektrum bliver brugt inden for funktionsanalyse som en generalisering af konceptet af egenværdier af en matrix. I det følgende ses der på spektrum for begrænsede operatorer.

Definition[redigér | redigér wikikode]

Hvis er en begrænset lineær operator på et Banach rum , så er mængden af komplekse tal hvor er ikke er invertibel kaldet spektrum af , hvor er identitetsoperatoren. Spektrum af skrives som .

Spektret kan også anses som værende komplementet til hvad der kaldes resolvent mængden som er mængden af hvor er invertibel. Lidt mere formelt er mængden hvor eller og er domænet for .

Elementer i spektrum[redigér | redigér wikikode]

Man spørger nok sig selv om at siden spektrum er en generalisering af egenværdier af matricer, hvornår et element i spektrum er en egenværdi.

Sætning: Hvis er et normeret rum som er forskellig fra 0, så er spektret ikke tomt.[1]

Sætning: Resolvent mængden og åben, og spektret er kompakt.[2]

for en operator gælder det at den er invertibel hvis og kun hvis er bijektiv. Dvs. at vi har to måder hvorpå vores operator ikke længere er invertibel, hvilket er hvis ikke er injektiv eller surjektiv.

Element er en egenværdi i spektrum[redigér | redigér wikikode]

Hvis ikke er injektiv, hvilket vil sige at funktionen ikke er injektiv, da må der eksistere et sådan så . Dette er definitionen for hvornår er en egenværdi, så hvis ikke er injektiv er en egenværdi i spektret for .

Element er ikke en egenværdi i spektrum[redigér | redigér wikikode]

Hvis et element ikke er en egenværdi, da er ikke surjektiv (på). Dette kan ske på to måder:

  1. Billedmængden af , som ikke er hele er tæt i . Denne del af spektret kaldes for det kontinuerte spektrum.
  2. Lukningen af billedmængden af er en ægte delmængde af . Denne del af spektret kaldes for det residuale spektrum.

Typer af spektrum[redigér | redigér wikikode]

En generelt brugt måde at opdele spektret på er den følgende:

Vi ved at en begrænset lineær operator på et Hilbertrum er invertibel hvis og kun hvis den er begrænset nedefra og har en tæt billedmængde. Dette vil sige at et komplekst tal er i spektret for hvis og kun hvis ikke er begrænset nedefra og/eller at ikke har tæt billedmængde. Dette fortæller os at man kan opdele spektret i to muligvis overlappende delmængder:

  1. Omtrentligt punkt spektrum (approximate point spectrum) af er ikke begrænset nedefra .
  2. Kompressions spektret (compression spectrum) af er har ikke en tæt billedmængde .

Det omtrentlige punkt spektrum består igen af to disjunkte dele som er de elementer som er egenværdier af , som skrives , og komplementet af denne.


Man kan også opdele spektret i tre andre disjunkte dele:

  1. Punkt spektret (point spectrum) af er ikke er en-til-en/injektiv . Så igen ser vi at punkt spektret består præcis af alle egenværdier af .
  2. Det kontinuerte spektrum (the continuous spectrum) af er er en-til-en/injektiv . Dette spektrum består af de hvor billedmængden for er tæt men er ikke lig med hele .
  3. Det residuale spektrum (the recidual spectrum) af er er en-til-en/injektiv . Dette spekre består af de hvor billedmængden af ikke er tæt.

Disse tre spektrum har den samme definition for Banachrum.

Egenskaber for spektret[redigér | redigér wikikode]

Spektret for en operator på et Hilbert eller Banachrum indeholder vigtig information omkring operatoren.

Den er også en konjugeringsinvariant da:

Sætning: Hvis er en operator i for et Banachrum , og hvis er en invertibel operator i , så er .[3]

Ovenstående sætning angiver blot en måde hvorpå spektret ikke ændres, men det er ikke den eneste måde. For hvis er komplekse Hilbert rum som er forskellige fra 0, hvor og , dvs, er invertibel, så gælder[4]

  1. .
  2. .
  3. .

Ved at disse holder, så gælder det også for spektret, resolvent mængden og for spektral radius.

Hvis også var unitær gælder også

Hvis vi antager at er et komplekst Hilbert rum og at er enhedscirklen omkring origo i det komplekse plan, så gælder følgende[5]:

  1. Hvis er hyponormal (dvs. eller \| T^*x \| \leq \| Tx \| </math>) så er og .
  2. Hvis er normal så er og .
  3. Hvis er unitær så er .
  4. Hvis er selvadjungeret så er .
  5. Hvis er positiv så er .
  6. Hvis er strengt positiv hvis hvor .
  7. Hvis er en ikke triviel projektion så er .

Flere egenskaber kan ses i.[6]

Selvadjungerede operatorer[redigér | redigér wikikode]

Generelt for en selvadjungeret operator i gælder der at enhver egenværdi for er reel og at egenvektorerne for forskellige egenværdier er ortogonale.[7]

Kompakte selvadjungerede operatorer i [redigér | redigér wikikode]

For en selvadjungeret begrænset operator på et Hilbertrum er .

Dette kan bruges til at vise at for en kompakt selvadjungeret operator i så er mindst et tallene eller en egenværdi for , hvilket vil sige at mindst en af disse er et element i .[8]

Kompakte operatorer[redigér | redigér wikikode]

Resultatet som bruges til at karakterisere de kompakte operatorer på et komplekst Hilbert rum kaldes 'the Fredholm Alternative' som siger følgende:

Sætning (Fredholm Alternative)[9]: Lad være en kompakt operator på et Hilbert rum , og antag at og . Så har vi følgende:

  1. Hvis er injektiv så er invertibel.
  2. Hvis afbilder surjektivt fra til , så er invertibel.

En anden sætning giver at ethvert punkt i spektret som er forskellig fra 0 på en kompakt operator altid er egenværdier for operatoren[10].

Vi kan også yderligere beskrive elementerne i spektret for en kompakt operator ved følgende sætning.

Sætning[11]: Tag en kompakt operator som er mængden af kompakte lineære transformationer, så har vi følgende:

  1. 0 er det eneste akkumuleringspunkt af .
  2. Hvis , så er et isoleret punkt af .
  3. er en diskret delmængde af .
  4. er tællelig.

Spektralmapping for polynomier[redigér | redigér wikikode]

Hvis er et polynomium med komplekse koefficienter, så for enhver delmængde er .

Sætning (Spektral mapping sætningen for polynomier): Tag en operator , hvor er et komplekst Banachrum. Hvis er et polynomium med komplekse koefficienter, så er .[12]

Denne sætning gælder også specielt hvis er en unital Banach algebra hvor , så er .

Eksempel: Hvis er et element i en unital Banach algebra som opfylder at , og lad . Så er hvilket medfører at . Dvs at for alle , hvilket giver os at .

Denne sætning kan også udvides til at gælde for polynomier som gælder for normale operatorer i et Hilbertrum . Lad og være arbitrære delmængder af og lad være et polynomium i to variable med komplekse koefficienter, hvor . Hvis vi i særdeleshed ser på , da er .

Sætning (Spektral mapping sætningen for normale operatorer): Hvis er normal og er et polynomium i to variable, så er .[13]

Eksempler[redigér | redigér wikikode]

  1. Hvis er en øvre triangulær matrix, så består af elementerne på diagonalen af matricen .
  2. Hvis , hvor er et kompakt Hausdorff rum, så er for alle .
  3. er rummet af alle kvadratisk summable sekvenser, som også er et Banach rum. Den unilaterale skift operatoren er og dens inverse er . Her er den nemmeste måde at bestemmespektrum for er ved først at bestemme spektrum for , da ikke indeholder nogen egenværdier. Det første vi kan se er at spektret for er indeholdt i mængden . Som det næste kan vi vise at er indeholdt i og er egenværdier. Vi ser at hvis vi vælger vektoren hvor , så vil være opfyldt og dermed er egenværdier for . Og da spektret er lukket er . Så ved at bruge at hvis ikke er invertibel så er heller ikke invertibel, og dermed, da så ser vi at .

Kommutative Banach algebraer[redigér | redigér wikikode]

Når vi arbejder med Banach algebraer (og dermed også C* algebraer) så har vi at [14], hvor er en kommutativ unital Banach algebra, og er et kompakt Hausdorff rum.

Dette kommer af at komplekse homomorfier på en unital kommutativ Banach algebra er en ikke triviel multiplikativ lineær funktional , som er kontinuer med norm 1. Samlingen af alle disse ikke trivielle multiplikative lineære funktionaler kaldes det maksimale ideal rum og skrives .

Måden hvorpå vi ser at spektrum er af denne form kommer af følgende:

Hvis vi vælger et og antager at , da er ikke invertibel og mængden en ægte delmængde, da den ikke kan indholde . Ud fra dette kan man så se at den må være indeholdt i et maksimalt ideal som ved[15] er kernen af en multiplikativ lineær funktional . Så da da er .

Omvendt, hvis , så kan vi finde et sådan så . Så givet et hvilket som helst ikke triviel multiplikativ lineær funktional , da har vi at . Dette giver os så at eller for ethvert .

Sætning (Gelfand): Hvis er et element i en unital Bananch algebra , så er .[16]

Egenskaber[redigér | redigér wikikode]

Hvis er en unital C* algebra og er normal holder følgende[17]:

  1. er selvadjungeret hvis og kun hvis .
  2. er unitær hvis og kun hvis .
  3. hvis og kun hvis .

Hvis er et selvadjungeret element i en unital C* algebra , så siges at være positiv hvis , og så skrives og de positive elementer i skrives som .[18]

Sætning: Hvis vi lader være en lukket delalgebra af en unital Banach algebra som indeholde enheden for , så gælder følgende[19]:

  1. Mængden er en clopen (dvs. lukket og åben) delmængde af .
  2. For ethvert gælder det at og .
  3. Hvis og ikke har nogen huller, så er .

Her ses det a vi ved hjælp af spektrum får vigtig information omkring operatoren.

Spektralradius[redigér | redigér wikikode]

Det kan godt være vanskeligt at bestemme hvad spektret for en operator præcist er, så vi vil ønske at kunne indskrænke vores søgeområde. Dette er lige netop hvad den næste sætning giver os mulighed for at gøre.

Sætning (spektral radius formel): Hvis , som er en unital Banach algebra, da er spektral radius [20]

Med denne sætning ved hånden, kan vi nu bestemme hvilket område i som spektret ligger i, og dermed indskrænke vores eftersøgningsområde for at bestemme spektret.

Eksempel: Hvis vi har , hvor er et kompakt Hausdorff rum og dermed at er en Banach algebra, så ses det at , hvor , så . Benytter vi os af spektral radius formlen, så ses det at da .

Anvendelser[redigér | redigér wikikode]

Spektret bruges som tidligere nævnt til at bestemme vigtige egenskaber ved en operator, så som om den er selvadjungeret, normal eller positiv.

Spektret for en operator bruges til klassifikation af operatoren i form af spektral sætningen (der findes flere versioner af denne). Dette skal ses som en udvidelse af den klassifikation som man ser i lineær algebra hvor der gøres brug af egenværdier, egenrum, minimal og karakteristiske polynomier.

Spektrum bruges også indenfor kvantemekanik, hvor spektret for en operator relateres til forklaringen af spektret for atomer[21].

References[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ Sætning 2.2, C.S. Kubrusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces, Springer
  2. ^ Sætning 2.1, C.S. Kubrusly,Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces, Springer
  3. ^ Sætning 4.27, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  4. ^ Proposition 2.B, C.S. Kubrusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces
  5. ^ Proposition 2.A, C.S. Krubusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces, Springer
  6. ^ Afsnit 2.7, C.S. Kubrusly, Spectral Theory og Operators on Hilbert Spaces, Springer
  7. ^ Sætning 4.20, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  8. ^ Sætning 4.19, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  9. ^ Sætning 4.32, B. MacCluer , Elementary Functional Analysis, Springer
  10. ^ Sætning 4.31, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  11. ^ Korolar 2.20, C.S. Kubrusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces, Springer
  12. ^ Sætning 2.7, C.S. Kubrusly, "Spectral Theory of Operators on Hilbert spaces", Springer
  13. ^ Sætning 2.8, C.S. Kubrusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert spaces, Springer
  14. ^ Sætning 5.28, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  15. ^ Sætning 5.26, B. MacCluer, Elementary functional Analysis, Springer
  16. ^ Sætning 1.2.5, G. Murphy, C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press, Inc.
  17. ^ Sætning 5.49, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  18. ^ Definition 5.54, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  19. ^ Sætning 1.2.8, G. Murphy, C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press, Inc.
  20. ^ Sætning 5.15, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  21. ^ Side 98, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer