Kvantemekanik

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
3D visualisering af en 3p orbital i hydrogen. Figuren viser det område af rummet, hvor der er størst sandsyndlighed for at finde en elektron i en 3p orbital.

Kvantemekanik (eller kvantefysik) er en gren af fysikken som beskæftiger sig med stofs egenskaber på atomart niveau og mindre (subatomar) (meget lille skala). Ud over sin anvendelse inden for fysik og kemi har kvantemekanikken også haft stor betydning for filosofiske emner.

Introduktion[redigér | redigér wikikode]

Kvantemekanikken baserer sig på brug af bølgefunktioner til at beskrive partikler.

Ved at beskrive en partikel med bølgefunktion opgiver man det klassiske billede, hvor man altid kan beskrive en partikel ved dets placering i rummet, hastighed, retning osv. Al denne information findes nu i bølgefunktionen, der oftest betegnes med det græske bogstaver psi (\Psi).

Max Born indførte fortolkningen af bølgefunktionen som en sandsynlighed. Helt præcist er det kvadratet på bølgefunktionen \vert\Psi\vert^2, der angiver sandsynligheden for at finde partiklen et bestemt sted i rummet. Her ser man endnu et træk, der tydeligt adskiller kvantemekanikken fra den klassiske fysik. Den klassiske fysik er deterministisk, hvilket vil sige, at hvis man kender al information om et system, så vil man kunne forudsige dens fremtidige udvikling. Ideelt set er der altså ingen usikkerheder i den klassiske fysik. Modsat er kvantemekanikken i sin essens probabilistisk, dvs. baseret på sandsynligheder.

Kvantemekanikken har fået sit navn fra fænomenet kvantisering. Dette betyder, at på mikroskopisk skala sker ændringer i f.eks. energi nogle gange i spring, hvor man klassisk set ville forudsige, at ændringen sker kontinuert. Dette ses bl.a. i et atom, hvor elektronen skifter energiniveau i kvantespring, fordi Schrödinger-ligningen kun tillader nogle få energiniveauer. Der findes altså "forbudte" energiniveauer, hvor elektronen ikke kan eksistere, og energiskiftet kan kun ske i "mængder" (latin: kvanter).

Historie[redigér | redigér wikikode]

I år 1900 foreslog Max Planck at energi kan være kvantiseret. Denne ide opstod i et forsøg på at beskrive den observerede frekvensfordeling af energi udsendt fra sortlegemer. Einstein forklarede i 1905 den fotoelektriske effekt ved på tilsvarende vis at postulere at lysets energi er kvantiseret. I 1913 forklarede den danske fysiker Niels Bohr brintatomets spektrallinjer ved at antage kvantiserede energitilstande. Endeligt i 1924 fremførte Louis de Broglie sin teori for stoffets bølgenatur.

Trods deres succes var disse teorier rent fænomenologiske: der var intet fundamentalt argument for kvantisering. Disse teorier kaldes overordnet for den gamle kvantemekanik.

Den moderne kvantemekanik opstod i 1925 hvor Heisenberg udviklede matrixbeskrivelsen, og hvor Schrödinger udviklede bølgebeskrivelsen og opstillede Schrödingers ligning. Schrödinger viste efterfølgende at de to tilgange er ækvivalente.

Werner Heisenberg postulerede sit usikkerhedsprincip i 1927. Kvantemekanikken udvikler sig til det der kendes som "Københavnerfortolkningen". I 1927 bliver kvantemekanikken også forenet med den specielle relativitetsteori gennem Paul Diracs arbejde. Paul Dirac udviklede ligeledes brugen af operatorteori i kvantemekanikken – specielt den indflydelsesrige bra-ket notation. I 1932 formulerede John von Neumann en streng matematisk basis for kvantemekanik formuleret som operatorteori.

I 1940'erne blev kvanteelektrodynamikken (QED) udviklet at Richard Feynman, Freeman J. Dyson, Julian Schwinger og Shin-Ichiro Tomonaga.

Hugh Everett III formulerede "mange-verden" fortolkningen i 1956.

Kvantekromodynamikken (QCD) tager sin begyndelse i de tidlige 1960'ere. Teorien som vi kender den i dag blev formuleret af Polizter, Gross og Wilzcek i 1975. På baggrund af pionérarbejde af Schwinger, Higgs, Goldstone og andre blev det uafhængigt påvist af Glashow, Weinberg og Salam at den svage kernekraft og kvanteelektrodynamik kunne forenes i enkel elektrosvag kraft.

Målingsteori[redigér | redigér wikikode]

Et af de områder, hvor kvantemekanikken har haft størst betydning uden for fysikerkredse, er målingsteori. Helt kort fortalt postulerer kvantemekanikken, at man ikke kan adskille personen, der foretager en måling, fra det, der bliver målt. Det betyder ofte, at man vil ændre en partikels tilstand, når man måler på den.

Superposition[redigér | redigér wikikode]

Når man i kvantemekanikken giver afkald på de klassiske begreber, som position, fart og impuls, åbner man muligheden for at have partikler, der ikke er i en defineret tilstand (eller egentilstand) af f.eks. impuls. Man siger at en sådan partikel er i en superposition af impuls, hvor den populært sagt er i flere tilstande samtidig uden at have valgt hvilken én endnu. Partiklen bliver så at sige først nødt til at vælge i det øjeblik man måler på den, og den antager så straks en defineret tilstand. Når en partikel ikke er i en defineret tilstand, kan man som sagt ikke bruge det klassiske begreb længere, og man er nødt til at arbejde med forventningsværdier. Forventningsværdien er i bund og grund bare middelværdien af de tilstande, som partiklen kan være i.

Det er partiklers superpositionsegenskab, der giver anledning til mange af de fænomener, som kvantemekanikken er berømt for. F.eks. danner superposition grundlaget for kvantecomputeren og for paradokset om Schrödingers kat. Ofte er man også interesseret i at have en partikel i en superposition for at kunne foretage en anden måling præcist, fordi Heisenbergs usikkerhedsrelationer ikke tillader én at kende begge dele på én gang.

Stern-Gerlach-eksperimentet[redigér | redigér wikikode]

Skitse af Stern og Gerlachs eksperiment fra 1922. Der sendes sølvatomer ind i et magnetfelt (fra højre), hvor strålen af atomer bliver delt i to på grund af atomernes Spin.

Et af kvantemekanikkens mest bizarre resultater kan vises i en tænkt udgave af det forsøg, som Otto Stern og Walther Gerlach lavede i 1922. I det oprindelige eksperiment sendte man en stråle af sølvatomer igennem et inhomogent magnetfelt, hvilket får afbøjer atomerne forskelligt alt efter deres elektroners Spin. Når strålen rammer en skærm vil man se to adskilte stråler, fordi elektronerne kan have to spin-tilstande. Dette var i modstrid med den klassiske teori, og eksperimentet dannede et fundamentalt bevis for partiklers spin.

For rigtig at forstå spins bizarre egenskaber kan man tænke sig tre Stern-Gerlach-apparater (S-G) sat efter hinanden. For hvert apparat deler strålen sig i to, og kun den ene fortsætter videre til næste apparat. Det første S-G virker langs z-aksen og deler strålen i to, z+ og z-, hvilket betyder, at de hhv. har spin op og spin ned. Den ene stråle (z+) fortsætter nu ind i det næste S-G, der virker langs x-aksen. Strålen deles igen i to, men denne gang er det efter spin i x-aksens retning: x+ og x- (vi kan kalde det hhv. spin "højre" og spin "venstre"). Til sidst fortsætter kun x+ ind i det sidste S-G, der igen virker langs z-aksen. Overraskende nok kommer der igen to stråler ud af det sidste S-G, der igen er opdelt efter spin op og spin ned.

Sg-seq.svg

Klassisk set ville man forvente at der kun kom én stråle med spin op ud til sidst, for alle partikler med spin ned blev frasorteret allerede i første trin. Kvantemekanikkens resultat kan kun tolkes sådan, at man ændrer på partiklens tilstand, når man foretager en måling. Matematisk set betyder det, at man sætter partiklen i en superposition (se ovenfor) af spin op og spin ned, når man foretager målingen i x-aksens retning.

Schrödingers kat

Schrödingers kat[redigér | redigér wikikode]

Et af de mest kendte paradokser inden for den moderne fysik handler om Schrödingers kat. Det er et tankeeksperiment, som Erwin Schrödinger fremsatte i 1935. Man forestiller sig, at man har en lukket kasse med en kat, et radioaktivt materiale, en Geigertæller og en beholder med giftgas. Geigertælleren er forbundet med giftgasbeholderen således, at hvis Geigertælleren giver udslag, så udsendes giftgassen. Inden for et givet tidsinterval er der altså en vis sandsynlighed for at der sker et henfald i det radioaktive materiale, så katten dræbes. Men hvorvidt katten er levende eller død, vil man ikke kunne afgøre før man åbner kassen, og dermed kan man betragte katten som værende i en superposition mellem levende og død.

Matematik[redigér | redigér wikikode]

Schrödingerligningen[redigér | redigér wikikode]

Den utvivlsomt vigtigste ligning inden for kvantemekanikken er Schrödingerligningen. For én partikel antager ligningen formen

 -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi\left(\mathbf{r},t\right) + U\left(\mathbf{r},t\right) \Psi\left(\mathbf{r},t\right) = i \hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi\left(\mathbf{r},t\right),

hvor m er partiklens masse, \mathbf{r} er stedvektor for partiklen og \hbar er Plancks konstant divideret med 2π. Ligningen udtrykker energibevarelse for et kvantemekanisk system – første led på venstre side er det kvantemekaniske udtryk for kinetisk energi, det andet led er den potentielle energi, og højre side angiver den samlede energi for systemet. Schrödingerligningen er en differentialligning, hvis løsninger er funktioner. Man kan bruge den til at finde bølgefunktioner \Psi, der er løsninger til et givet potential U\left(\mathbf{r},t\right).

Ligningen findes også i en tidsuafhængig udgave, hvor man kan finde stationære tilstande (eller bundne tilstande), der ikke ændrer sig over tiden. Sådanne tilstande er bl.a. elektroner, der er bundet til en atomkerne, eller andre partikler, der på anden måde er fanget i et elektrisk felt. I den tidsuafhængige udgave erstattes energioperatoren i \hbar\frac{\partial}{\partial t} på højre side med den samlede energi for systemet E og de tidsuafhængige løsninger betegnes ofte med et lille psi (\psi\left(\mathbf{r}\right)).

Ligningen er ikke-relativistisk, dvs. den gælder kun for partikler, hvis hastighed ikke er sammenlignelig med lysets hastighed (299.792.458 m/s). For relativistiske partikler skal man bruge den mere avancerede Dirac-ligning eller kvantefeltteorien.

Dirac-ligningen[redigér | redigér wikikode]

Dirac-ligningen er en fusion mellem Schrödingerligningen og den specielle relativitetsteori. Ligningen er

-i\hbar c \left(\boldsymbol{\alpha} \cdot \nabla\right)\psi + \beta m c^2 \psi = i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t},

hvor m er partiklens masse, \mathbf{r} er stedvektor for partiklen, c er lysets hastighed og \hbar er Plancks konstant. \beta er en 4x4 matrix og \boldsymbol{\alpha} består af 3 forskellige 4x4 matricer – en for hver dimension. I denne model er \psi ikke bare en funktion, men en vektorfunktion med fire komponenter.

En af de ting, som Dirac-ligningen kan forklare, er betydningen af spin. Spin indgår ikke i Schrödingerligningen, men i Dirac-ligningen dukker det op som en konsekvens af mødet mellem kvantemekanik og relativitetsteori. Dirac-ligningen kan forklare ting som finstruktur i atomspektre, men kommer dog til kort ved f.eks. det gyromagnetiske spinforhold g_s. Diracs teori forudsiger værdien af g_s til at være præcis 2, men målinger viser, at den er lidt højere end 2. Dette kan forklares inden for kvantefeltteori.[1]

Heisenbergs usikkerhedsrelationer[redigér | redigér wikikode]

Heisenbergs usikkerhedsrelationer er et sæt af uligheder, der er af stor betydning inden for kvantemekanikken. De udtrykker fundamentale grænser for, hvor præcise målinger det er muligt at opnå på samme tid. Mest berømt er uligheden

\Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2},

der udtrykker, at man ikke kan kende en partikels position og impuls uendeligt præcist på samme tid, fordi de to størrelser er konjugerede variable. Dette skal ikke ses som en begrænsning ved måleudstyret, men en fundamental egenskab ved naturen. Der findes tilsvarende relationer mellem andre variable. Se Heisenbergs ubestemthedsrelationer.

Matematisk kan usikkerhedsprincippet bevises med Fourier-analyse.[2]

Perturbationsteori[redigér | redigér wikikode]

Én af Schrödingerligningens store ulemper er, at den kun kan løses eksakt for nogle ganske simple tilfælde. F.eks. kan man ikke finde analytiske bundne tilstande for andre atomer end hydrogen. Man er derfor nødt til at lave forskellige simplificeringer af de kvantemekaniske problemer for at kunne løse dem. Et af de vigtigste værktøjer til dette er perturbationsteori.

Selv om Schrödingerligningen ikke kan løses eksakt, har den en fordel i at den er lineær. Det betyder, at en lille ændring (perturbation) i potentialet U vil give en lille ændring i bølgefunktionen og dens energi. Dermed kan man lave tilnærmede løsninger til avancerede problemer ud fra simple problemer, som man kan løse eksakt.

Se også[redigér | redigér wikikode]

Referencer[redigér | redigér wikikode]

  • (Engelsk) Scherrer, Robert (2006). "Quantum mechanics: an accessible introduction". Addison Wesley. ISBN 0-8053-8716-1.
  1. (Engelsk) Foot, Christopher J. (2005). "Atomic Physics". Oxford University Press. ISBN 0-19-850696-1. Side 274-275.
  2. (Engelsk) Boggess, Albert og Narcowich, Francis J. (2001). "A first course in wavelets with Fourier analysis". Prentice Hall. ISBN 0-13-022809-5. Side 120-125.

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]