Vinkelhalveringslinje

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
En trekant hvor vinkelhalveringslinjerne er indtegnet. Linjernes skæringspunkt er centrum for den største cirkel, som kan indeholdes i trekanten, den indskrevne cirkel.

En vinkelhalveringslinje er en linje, der deler en vinkel i to lige store dele. Den er m.a.o. det geometriske sted for de punkter, som hver især befinder sig lige langt fra hver af de to linjer, der danner vinklen.

I en vilkårlig trekant, hvor topvinklerne , og samt disses modstående sider , og kendes, kan en ligning for fx 's halveringslinje bestemmes ved på at lokalisere punktet , jævnfør Figur 1.

Figur 1

Først beregnes de fra og nedfældede højder:

;

.

Dernæst defineres forholdstallet:

,

som ganget med fx giver .

Lader vi toppunkterne være givet ved

,

og

,

kan 's koordinater bestemmes som følger:

;

.

Hvis

og

,

er halveringslinjens parametriske ligning givet ved

,

mens dens kartesiske ligning kan skrives på formen

.

Skæring mellem vinkelhalveringslinjer[redigér | rediger kildetekst]

Da vinkelhalveringslinjerne skærer hinanden i centrum for trekantens indskrevne cirkel, er det vigtigt at kunne bestemme skæringspunktet mellem mindst to af disse linjer. Her er et eksempel på, hvordan det kan gøres. Da vi allerede kender 's halveringslinjes kartesiske ligning (se ovenfor), anfører vi nu den parametriske ligning for 's halveringslinje, der er givet ved

,

og som skærer i punktet , bestemt ved

,

.

Ligningen for 's halveringslinje indsættes nu i ligningen for 's:

,

som efter indsættelse i 's halveringslinjes ligning giver skæringskoordinaterne:

,

.

Bemærk, at -parameteren, før den isoleres på venstresiden, omdøbes til .

Vinkelhalveringsteorem[redigér | rediger kildetekst]

I henhold til det såkaldte vinkelhalveringsteorem, er

,

hvilket nu vil blive bevist: Ifølge de trigonometriske læresætninger (for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter) er

og

,

hvilket man kan forvisse sig om ved at gange over kors i begge ligninger.

Da højresiderne i disse er ens, må venstresiderne også være det, og med denne konstatering er beviset fuldført.

Indsættes de kendte parametre (sidelængderne , og ) i vinkelhalveringsteoremet, kan 's koordinater bestemmes uden direkte brug af trigonometriske beregninger:

Efter omskrivningen af forholdstallet finder vi igen, at 's koordinater er givet ved

,

.

Eksterne henvisninger[redigér | rediger kildetekst]

Vinkelhalvering. Program til beregning af vinkelhalveringslinjer og skæringer mellem disse etc.

Angle Bisector Theorem (med henvisning til Euklid). Fra ProofWiki.

Angle Bisector Theorem. Fra Art of Problem Solving.