Arcus-funktioner

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
(Omdirigeret fra Arcussinus)
Gå til: navigation, søg

Arcus-funktionerne, også kaldet de circulære funktioner eller blot de omvendte trigonometriske funktioner, er omvendte funktioner til de trigonometriske funktioner med restriktioner i deres definitionsmængder for at gøre dem injektive. Der findes arcus-funktioner til sinus, cosinus, tangens, samt deres reciprokke funktioner: cosekans, sekans og cotangens. De bruges til at beregne en vinkel ud fra kendte forholdstal i en trekant og er hyppigt brugte i ingeniørvidenskab, navigation, fysik og geometri.

Notation[redigér | redigér wikikode]

Der er flere notationer som bruges for arcus-funktioner.

Det mest almindelige er at bruges "arc-" som et præfiks: arcsin(x), arccos(x), arctan(x) osv. Disse navne udtales "arcus-sinus til x", "arcus-cosinus til x", "arcus-tangens til x" osv.

Inden for datalogi (programmeringssprog, regneark, lommeregnere og tilsvarende) vil man ofte se forkortede notationer: asin, acos, atan osv.

Notationerne sin−1(x), cos−1(x), tan−1(x) osv. som blev indført af John Herschel i 1813[1][2] bruges også ofte. Denne metode er i logisk konflikt med notationer som sin2(x) som traditionelt bruges til betegne (sin(x))2 og ikke sin(sin(x)). Risikoen for forveksling er dog begrænset, specielt da de reciprokke trigonometriske funktioner har egne navne. Ikke desto mindre råder nogle forfattere til at undgå denne notation pga. dens tvetydighed.[3]

Grundliggende egenskaber[redigér | redigér wikikode]

Da ingen af de seks trigonometriske funktioner er injektive (en-til-en) er det nødvendigt at indføre restriktioner for at kunne danne omvendte funktioner. For eksempel har ligningen sin(x) = 0 uendelig mange løsninger: x = nπ for alle heltal n, så man er nødt til at vælge hvilken af værdierne for x som arcsin(0) skal give. Derfor er de omvendte funktioners værdimængder ægte delmængder af de oprindelige funktioners definitionsmængder.

Der er definitioner og værdimængder for arcus-funktionerne i den følgende tabel:

Funktion Definition Definitionsmængde Værdimængde (radianer) Værdimængde (grader)
y = arcsin(x) x = sin(y) −1 ≤ x ≤ 1 π/2 ≤ yπ/2 −90° ≤ y ≤ 90°
y = arccos(x) x = cos(y) −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ yπ 0° ≤ y ≤ 180°
y = arctan(x) x = tan(y) alle reelle tal π/2 < y < π/2 −90° < y < 90°
y = arccot(x) x = cot(y) alle reelle tal 0 < y < π 0° < y < 180°
y = arcsec(x) x = sec(y) x ≤ −1 or 1 ≤ x 0 ≤ y < π/2 eller π/2 < yπ 0° ≤ y < 90° eller 90° < y ≤ 180°
y = arccsc(x) x = csc(y) x ≤ −1 or 1 ≤ x π/2 ≤ y < 0 eller 0 < yπ/2 −90° ≤ y < 0° eller 0° < y ≤ 90°

Relationer mellem trigonometriske funktioner og arcus-funktioner[redigér | redigér wikikode]

Værdier for sinus, cosinus og tangens af arcus-funktioner kan ses i den følgende tabel sammen med diagrammer af retvinklede trekanter som kan illustrere hvordan man kan udlede disse resultater ved at anvende Pythagoras' læresætning og definitionerne af de trigonometriske funktioner.

Diagram
Trigonometric functions and inverse3.svg
Trigonometric functions and inverse.svg
Trigonometric functions and inverse2.svg
Trigonometric functions and inverse5.svg
Trigonometric functions and inverse6.svg
Trigonometric functions and inverse4.svg

Relationer mellem arcus-funktionerne[redigér | redigér wikikode]

Kurver for arcsin (rød) og arccos (blå).
Kurver for arctan (rød) og arccot (blå).
Kurver for arcsec (rød) og arccsc (blå).

Komplementære vinkler:

Negative argumenter:

Reciprokke argumenter:

Referencer[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ Cajori, Florian (1919). A History of Mathematics (2 udg.). New York, USA: The Macmillan Company. s. 272. 
  2. ^ Herschel, John Frederick William (1813). "On a remarkable Application of Cotes's Theorem". Philosophical Transactions (Royal Society, London) 103 (1): 8. 
  3. ^ Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000). "21.2.-4. Inverse Trigonometric Functions". Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and review (3 udg.). Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc.. s. 811. ISBN 978-0-486-41147-7.