Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Arcus-funktionerne , også kaldet de circulære funktioner eller blot de omvendte trigonometriske funktioner , er omvendte funktioner til de trigonometriske funktioner med restriktioner i deres definitionsmængder for at gøre dem injektive . Der findes arcus-funktioner til sinus , cosinus , tangens , samt deres reciprokke funktioner: cosekans , sekans og cotangens . De bruges til at beregne en vinkel ud fra kendte forholdstal i en trekant og er hyppigt brugte i ingeniørvidenskab , navigation , fysik og geometri .
Der er flere notationer som bruges for arcus-funktioner.
Det mest almindelige er at bruges "arc-" som et præfiks: arcsin(x ) , arccos(x ) , arctan(x ) osv. Disse navne udtales "arcus-sinus til x", "arcus-cosinus til x", "arcus-tangens til x" osv.
Inden for datalogi (programmeringssprog , regneark , lommeregnere og tilsvarende) vil man ofte se forkortede notationer: asin, acos, atan osv.
Notationerne sin−1 (x ) , cos−1 (x ) , tan−1 (x ) osv. som blev indført af John Herschel i 1813[1] [2] sin2 (x ) som traditionelt bruges til betegne (sin(x ))2 og ikke sin(sin(x )) . Risikoen for forveksling er dog begrænset, specielt da de reciprokke trigonometriske funktioner har egne navne. Ikke desto mindre råder nogle forfattere til at undgå denne notation pga. dens tvetydighed.[3]
Da ingen af de seks trigonometriske funktioner er injektive (en-til-en) er det nødvendigt at indføre restriktioner for at kunne danne omvendte funktioner. For eksempel har ligningen sin(x ) = 0 uendelig mange løsninger: x = nπ for alle heltal n , så man er nødt til at vælge hvilken af værdierne for x som arcsin(0) skal give. Derfor er de omvendte funktioners værdimængder ægte delmængder af de oprindelige funktioners definitionsmængder .
Der er definitioner og værdimængder for arcus-funktionerne i den følgende tabel:
Funktion
Definition
Definitionsmængde
Værdimængde (radianer )
Værdimængde (grader )
y = arcsin(x ) x = sin(y ) −1 ≤ x ≤ 1
−π /2 ≤ y ≤ π /2
−90° ≤ y ≤ 90°
y = arccos(x ) x = cos(y ) −1 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ π
0° ≤ y ≤ 180°
y = arctan(x ) x = tan(y ) alle reelle tal
−π /2 < y < π /2
−90° < y < 90°
y = arccot(x ) x = cot(y ) alle reelle tal
0 < y < π
0° < y < 180°
y = arcsec(x ) x = sec(y ) x ≤ −1 or 1 ≤ x 0 ≤ y < π /2 eller π /2 < y ≤ π
0° ≤ y < 90° eller 90° < y ≤ 180°
y = arccsc(x ) x = csc(y ) x ≤ −1 or 1 ≤ x −π /2 ≤ y < 0 eller 0 < y ≤ π /2
−90° ≤ y < 0° eller 0° < y ≤ 90°
Relationer mellem trigonometriske funktioner og arcus-funktioner [ redigér | rediger kildetekst ] Værdier for sinus, cosinus og tangens af arcus-funktioner kan ses i den følgende tabel sammen med diagrammer af retvinklede trekanter som kan illustrere hvordan man kan udlede disse resultater ved at anvende Pythagoras' læresætning og definitionerne af de trigonometriske funktioner.
θ
{\displaystyle \theta }
sin
(
θ
)
{\displaystyle \sin(\theta )}
cos
(
θ
)
{\displaystyle \cos(\theta )}
tan
(
θ
)
{\displaystyle \tan(\theta )}
Diagram
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arcsin(x)}
sin
(
arcsin
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x}
cos
(
arcsin
(
x
)
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}
tan
(
arcsin
(
x
)
)
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arccos
(
x
)
{\displaystyle \arccos(x)}
sin
(
arccos
(
x
)
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}
cos
(
arccos
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \cos(\arccos(x))=x}
tan
(
arccos
(
x
)
)
=
1
−
x
2
x
{\displaystyle \tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
arctan
(
x
)
{\displaystyle \arctan(x)}
sin
(
arctan
(
x
)
)
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
cos
(
arctan
(
x
)
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
tan
(
arctan
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \tan(\arctan(x))=x}
arccsc
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)}
sin
(
arccsc
(
x
)
)
=
1
x
{\displaystyle \sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}}
cos
(
arccsc
(
x
)
)
=
x
2
−
1
x
{\displaystyle \cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}
tan
(
arccsc
(
x
)
)
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle \tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
arcsec
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}
sin
(
arcsec
(
x
)
)
=
x
2
−
1
x
{\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}
cos
(
arcsec
(
x
)
)
=
1
x
{\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}}
tan
(
arcsec
(
x
)
)
=
x
2
−
1
{\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}}
arccot
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccot}(x)}
sin
(
arccot
(
x
)
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
cos
(
arccot
(
x
)
)
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
tan
(
arccot
(
x
)
)
=
1
x
{\displaystyle \tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}}
Grafer for arcsin (rød) og arccos (blå).
Grafer for arctan (rød) og arccot (blå).
Grafer for arcsec (rød) og arccsc (blå).
Komplementære vinkler:
arccos
(
x
)
=
π
2
−
arcsin
(
x
)
arccot
(
x
)
=
π
2
−
arctan
(
x
)
arccsc
(
x
)
=
π
2
−
arcsec
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}
Negative argumenter:
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
(
x
)
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
(
x
)
arctan
(
−
x
)
=
−
arctan
(
x
)
arccot
(
−
x
)
=
π
−
arccot
(
x
)
arcsec
(
−
x
)
=
π
−
arcsec
(
x
)
arccsc
(
−
x
)
=
−
arccsc
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\end{aligned}}}
Reciprokke argumenter:
arccos
(
1
x
)
=
arcsec
(
x
)
arcsin
(
1
x
)
=
arccsc
(
x
)
arctan
(
1
x
)
=
π
2
−
arctan
(
x
)
=
arccot
(
x
)
,
hvis
x
>
0
arctan
(
1
x
)
=
−
π
2
−
arctan
(
x
)
=
arccot
(
x
)
−
π
,
hvis
x
<
0
arccot
(
1
x
)
=
π
2
−
arccot
(
x
)
=
arctan
(
x
)
,
hvis
x
>
0
arccot
(
1
x
)
=
3
π
2
−
arccot
(
x
)
=
π
+
arctan
(
x
)
,
hvis
x
<
0
arcsec
(
1
x
)
=
arccos
(
x
)
arccsc
(
1
x
)
=
arcsin
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)\\[0.3em]\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ hvis }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)-\pi \,,{\text{ hvis }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\arctan(x)\,,{\text{ hvis }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x)\,,{\text{ hvis }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)\end{aligned}}}
^ Cajori, Florian (1919). A History of Mathematics The Macmillan Company . s. 272.^ Herschel, John Frederick William (1813). "On a remarkable Application of Cotes's Theorem" . Philosophical Transactions . Royal Society, London. 103 (1): 8.^ Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. "21.2.-4. Inverse Trigonometric Functions". Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and review Dover Publications, Inc. s. 811 . ISBN 978-0-486-41147-7
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec43798232f580abb074cf15f3d77692edd36af0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)\\[0.3em]\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ hvis }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)-\pi \,,{\text{ hvis }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\arctan(x)\,,{\text{ hvis }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x)\,,{\text{ hvis }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81e4ded25f48088f602e6923b447945119d24738)