Regneregler for differentiation

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Her er nogle regneregler for differentiation. Det forudsættes at alle funktioner er differentiable og dermed kontinuerte for den givne definitionsmængde:

  • , hvor er en konstant, har den afledede
  • (1): , hvor er en konstant, har den afledede
  • har den afledede , og heraf
  • har den afledede , undtagen for x=0

Funktioner der er sammensatte funktioner samt funktioner der er summen, differensen, produktet eller kvotienten af to differentiable funktioner er selv differentiable (med visse, åbenlyse begrænsninger i definitionsmængderne). Differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:

  • (kædereglen)
  • (2):
  • (følger af og k=-1: , hvor er en konstant, har den afledede )
  • (produktreglen)
  • , undersøges for g(x)=0
  • , undersøges for g(x)=0 (følger af og )
  • Differentiation er linear. (følger af (1) og (2) )
  • Sinus-funktionen har differentialkvotienten
  • Cosinus-funktionen har differentialkvotienten
  • Tangens, , har differentialkvotienten
  • Den naturlige eksponentialfunktion, , er pr. definition lig med sin differentialkvotient. Dvs. at konstanten e er defineret til at være det reelle tal som opfylder ligningen .
  • Den naturlige logaritme, , har differentialkvotienten

Differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner[redigér | redigér wikikode]

Hvis , og funktionerne og er differentiable i , er differentiabel i og differentialkvotienten af summen i lig summen af funktionernes differentialkvotienter.

Sætningen:

Differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner[redigér | redigér wikikode]

Produktreglen lader differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner beregnes.

Sætning[redigér | redigér wikikode]

En funktion, f(x), der er givet som et produkt:

har differentialkvotienten

Bevis[redigér | redigér wikikode]

Først findes sekantens hældning, eller differenskvotienten:

Hvilket, idet f(x) = v(x)u(x), bliver

Der lægges følgende til differenskvotientens tæller, hvorpå det samme trækkes fra igen. Dette giver 0, således er dette fuldt lovligt.

u(x) og v(x+dx) kan nu sættes uden for parentes, og derefter kan brøkstregen deles op:

Differentialkvotienten bliver således:

Hvilket i det generelle tilfælde er:

Der kan nu ses at dette bliver til; hvis de overordnede fire led tages grænseværdien af:

Umiddelbart ville man ikke tro at , og dette er heller ikke fuldstændig rigtigt, dette gælder kun hvis v(x) er kontinuert. Det er hermed bevist at (kortere skrevet, "(x)" udlades):