Differentialkvotienten af et produkt

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Differentialkvotienten af et produkt er en omregningsregel eller sætning, der benyttes i differentialregningen. Denne omregning er en del af de generelle differentialregneregler. Denne benyttes til at finde tangenten tangenthældningen ud fra funktionen.

Sætningen[redigér | redigér wikikode]

En funktion, f(x), er givet som et produkt:

Differentialkvotienten af denne funktion er følgende:

Umiddelbart giver denne generelle "omregning" ingen mening. Denne "formel" eller regneregel skal bevises.

Beviset[redigér | redigér wikikode]

Først der findes sekantens hældningenstal:

Hvilket bliver; da f(x) = v(x)u(x):

Der lægges følgende til differenskvotientens tæller, hvorpå det samme trækkes fra igen. Dette giver 0, således er dette fuldt lovligt.

u(x) og v(x+dx) kan nu sættes uden for parentes, og derefter kan brøkstregen deles op:

Differentialkvotienten bliver således:

Hvilket i det generelle tilfælde er:

Der kan nu ses at dette bliver til; hvis de overordnede fire led tages grænseværdien af:

Umiddelbart ville man ikke tro at , og dette er heller ikke fuldstændig rigtigt, dette gælder kun hvis v(x) er kontinuert. Det er hermed bevist at (kortere skrevet, "(x)" udlades):