e (tal)

Tallet e (også kaldet Eulers tal, opkaldt efter matematikeren Leonhard Euler) er et transcendent tal, der har denne afkortet tilnærmet værdi 2,718.

Definitioner

Der er forskellige definitioner for tallet e, men den mest grundlæggende er, at hældningskvotienten for tangenten af et tilfældigt givent punkt på funktionen $y=f(x)=e^{x}$$y=f(x)=e^{x}$ altid er lig med y.

e er det eneste tal, for hvilket det gælder, at eksponentialfunktionen $e^{x}$$e^{x}$ opfylder relationen

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.$${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.$

Desuden er e grundtallet for den naturlige logaritme, som regel skrevet ln(x); altså opfylder e følgende:

$\ln(e)=\int _{1}^{e}{\frac {1}{x}}dx=1.$$\ln(e)=\int _{1}^{e}{\frac {1}{x}}dx=1.$

Af konstruktive definitioner kan blandt mange nævnes

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots +{1 \over n!}+\cdots$$e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots +{1 \over n!}+\cdots$

Notation

Eksponentialfunktionen $e^{x}$$e^{x}$ skrives somme tider med operatoren exp:

$\exp(x)=e^{x}.$$\exp(x)=e^{x}.$

Dette bruges især på computere, for eksempel i programmeringssprog og regneark, hvor brugen af superscript ("hævet tekst") er besværlig eller ikke-tilgængelig.

e med 3717 decimaler

Da e (i lighed med pi) er transcendent, er det tillige et irrationelt tal, hvilket medfører at decimalerne ikke følger noget system, med fortsætter ikke-cyklisk med uendeligt mange decimaler. Her er dog flere end nok decimaler i de fleste sammenhænge.

 2,718281828459045235360287471352662497757247093699959574966 967627724076630353547594571382178525166427427466391932003059 921817413596629043572900334295260595630738132328627943490763 233829880753195251019011573834187930702154089149934884167509 244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992 069551702761838606261331384583000752044933826560297606737113 200709328709127443747047230696977209310141692836819025515108 657463772111252389784425056953696770785449969967946864454905 987931636889230098793127736178215424999229576351482208269895 193668033182528869398496465105820939239829488793320362509443 117301238197068416140397019837679320683282376464804295311802 328782509819455815301756717361332069811250996181881593041690 351598888519345807273866738589422879228499892086805825749279 610484198444363463244968487560233624827041978623209002160990 235304369941849146314093431738143640546253152096183690888707 016768396424378140592714563549061303107208510383750510115747 704171898610687396965521267154688957035035402123407849819334 321068170121005627880235193033224745015853904730419957777093 503660416997329725088687696640355570716226844716256079882651 787134195124665201030592123667719432527867539855894489697096 409754591856956380236370162112047742722836489613422516445078 182442352948636372141740238893441247963574370263755294448337 998016125492278509257782562092622648326277933386566481627725 164019105900491644998289315056604725802778631864155195653244 258698294695930801915298721172556347546396447910145904090586 298496791287406870504895858671747985466775757320568128845920 541334053922000113786300945560688166740016984205580403363795 376452030402432256613527836951177883863874439662532249850654 995886234281899707733276171783928034946501434558897071942586 398772754710962953741521115136835062752602326484728703920764 310059584116612054529703023647254929666938115137322753645098 889031360205724817658511806303644281231496550704751025446501 172721155519486685080036853228183152196003735625279449515828 418829478761085263981395599006737648292244375287184624578036 192981971399147564488262603903381441823262515097482798777996 437308997038886778227138360577297882412561190717663946507063 304527954661855096666185664709711344474016070462621568071748 187784437143698821855967095910259686200235371858874856965220 005031173439207321139080329363447972735595527734907178379342 163701205005451326383544000186323991490705479778056697853358 048966906295119432473099587655236812859041383241160722602998 330535370876138939639177957454016137223618789365260538155841 587186925538606164779834025435128439612946035291332594279490 433729908573158029095863138268329147711639633709240031689458 636060645845925126994655724839186564209752685082307544254599 376917041977780085362730941710163434907696423722294352366125 572508814779223151974778060569672538017180776360346245927877 846585065605078084421152969752189087401966090665180351650179 250461950136658543663271254963990854914420001457476081930221 206602433009641270489439039717719518069908699860663658323227 870937650226014929101151717763594460202324930028040186772391 028809786660565118326004368850881715723866984224220102495055 188169480322100251542649463981287367765892768816359831247788 652014117411091360116499507662907794364600585194199856016264 790761532103872755712699251827568798930276176114616254935649 590379804583818232336861201624373656984670378585330527583333 793990752166069238053369887956513728559388349989470741618155 012539706464817194670834819721448889879067650379590366967249 499254527903372963616265897603949857674139735944102374432970 935547798262961459144293645142861715858733974679189757121195 618738578364475844842355558105002561149239151889309946342841 393608038309166281881150371528496705974162562823609216807515...

Stub Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.