Naturlig logaritme

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Graf for den naturlige logaritme, y=\ln(x). Funktionen går mod minus uendelig når x går mod nul. Funktionen går langsomt mod uendelig for x gående mod uendelig.

Den naturlige logaritme, \ln er logaritmen med grundtallet e\approx 2.718281828, for hvilken der gælder at

\ln\left( e^t \right) = t

for alle reelle værdier af t. Den naturlige logaritme er dermed den inverse funktion af eksponentialfunktionen.

Til forskel fra andre logaritmer, der som oftest betegnes \log_{n}(x), hvor n repræsenterer grundtallet, bruger man hyppigst blot notationen \ln(x) for den naturlige logaritme. Visse steder i litteraturen benyttes dog, lidt misvisende, \log(x) til at betegne den naturlige logaritme.

Definition[redigér | redigér wikikode]

Den naturlige logaritme i punktet a>0 er defineret som integralet af funktionen 1/x fra 1 til a

\ln(a) \equiv \int_1^a\frac{1}{x}\,dx.
Definitionen på den naturlige logaritme af a, givet ved arealet under 1/x, fra 1 til a. For a=e er arealet eksakt 1.

Regneregler[redigér | redigér wikikode]

Definitionen understøtter følgende vigtige regneregel for logaritmer:

\ln\left(ab\right) = \ln\left(a\right) + \ln\left(b\right) \mbox{ for } a,b>0,

hvilket kan vises ved at benytte substitutionen  t = \dfrac{x}{a} som vist her

 \ln\left(ab\right) = \int_1^{ab} \frac{1}{x}dx
= \int_1^a    \frac{1}{x}dx + \int_a^{ab} \frac{1}{x}dx
= \int_1^a    \frac{1}{x}dx + \int_1^b    \frac{1}{t}dt
= \ln\left(a\right) + \ln\left(b\right)\,.

De følgende to regneregler kan vises på lignende måde ud fra definitionen:

\ln \left({a \over b} \right) = \ln \left(a) - \ln(b \right)
 \ln \left({a \over b} \right) = -\ln \left({b \over a} \right)

Derudover gælder også:

\ln{\left(a^x\right)} = x \cdot \ln{(a)}
 e^{\ln{\left(a\right)}}  = a

Differentiation og integration[redigér | redigér wikikode]

Differentialkvotienten af \ln(x) er givet ved følgende:

{d\over dx} \left( \ln(x) \right) = {1\over x}\,,

hvilket følger umiddelbart af definitionen.

Det ubestemte integral af \ln(x) er givet ved

 \int{\left(\ln(x)\right) \textrm{d}x} = x\left(\ln  \left( x \right) -1\right) + c\,.

Rækkerepræsentationer[redigér | redigér wikikode]

Illustration af hvorledes rækken \sum_{k=1}^n(-1)^{(k-1)}\frac{(x-1)^k}{k} konvergerer mod \ln(x) for 0<x \leq 2 for et stigende antal led n i rækken.

Maclaurinrækken for funktionen  \ln(1+x) kaldes Mercators række og er givet ved

\begin{align}
\ln\left(1+x\right) 
&= x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \cdots\\
&= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{(n-1)}\frac{x^n}{n} \qquad \text{ for } -1 < x \leq 1
\end{align}

Foretages substitutionen x \rightarrow x-1, finder man følgende rækkerepræsentation for den naturlige logaritme:

\begin{align}
\ln\left(x\right)
&= (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \cdots\\
&= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{(n-1)}\frac{(x-1)^n}{n} \qquad\text{ for } 0 < x \leq 2
\end{align}

Denne række, er den simpleste rækkerepræsentation for den naturlige logaritme, men den konvergerer kun forholdsvis langsomt og er altså kun gyldigt i et mindre værdiområde.

Ved at kombinere Mercators række med de basale regneregler for den naturlige logaritme kan man fremkomme med andre interessante rækkerepræsentationer. Foretager man f.eks. substitutionen x \rightarrow -x skifter fortegnet på alle de ulige led i Mercators rækken

\begin{align}
\ln\left(1-x\right)
&= (-x) - \frac{1}{2}(-x)^2 + \frac{1}{3}(-x)^3 - \frac{1}{4}(-x)^4 + \cdots\\
&= -x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \cdots, \quad\text{ for } -1 \leq x < 1
\end{align}

Ved hjælp af rækkerepræsentationerne for \ln\left(1+x\right) og \ln\left(1-x\right) findes da

\begin{align}
\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
&= \ln\left(1+x\right) - \ln\left(1-x\right) \\
&= 2x + \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{5}x^5 + \cdots \\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1}x^{2n+1}\mbox{ for } |x|<1\\
\end{align}

Dette er en interessant række, idet argumentet (1+x)/(1-x) antager alle mulige positive reelle værdier for |x|<1. Dette kan benyttes til at udlede en generel rækkerepræsentation for \ln(x) gældende for hele funktionens værdiområde. Hvis vi definerer

t=\frac{x-1}{x+1}
Illustration af hvorledes rækken \sum_{k=0}^n \frac{2}{2k+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2k+1} konvergerer mod \ln(x) for et stigende antal led n i rækken.

kan vi udtrykke x(t) som

x=\frac{1+t}{1-t}\,.

Derved findes følgende rækkerepræsentation for den naturlige logaritme

\begin{align}
\ln\left(x\right)
&= \ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right) \\
&= 2t + \frac{2}{3}t^3 + \frac{2}{5}t^5 + \cdots \\
&= 2\cdot\frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3 + \frac{2}{5}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^5 + \cdots \\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1}\quad\text{ for } x>0
\end{align}

som altså er gældende for alle positive reelle tal. Rækken konvergerer hurtigst for værdier omkring x = 1, som vist i figuren.

Specielle værdier[redigér | redigér wikikode]

Af definitionen på den naturlige logaritme fremgår det at

\ln\left(1\right) = 0\,.

Indsættes x=1 i Maclaurin rækken for \ln(1+x) fremkommer den alternerende harmoniske række

\ln\left(2\right) =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{(n-1)}\frac{1}{n}
= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots
 \simeq 0.69314718055994530941723212145818\ldots