Heptagon

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
En heptagon.

En heptagon (græsk, af hepta = syv), eller en syvkant, betegner indenfor geometrien en regelmæssig polygon med syv sider.

Heptagonen er defineret af syv punkter. Såfremt den ikke defineres nærmere, er der tale om en regelmæssig syvkant med syv lige lange sider, hvor hjørnepunkterne sidder på en fælles omkreds. > S = antal*sider; > Areal=S(0.5*r^(2)*sin(360/(S));


I matematisk sammenhæng[redigér | redigér wikikode]

Formel til beregning af vinklerne[redigér | redigér wikikode]

Summen af de indre vinkler af en syvkant er altid 900° og resulterer af den almindelige formel for polygoner, hvor der for variablen n indsættes antallet af hjørnepunkter i et polygon (i dette tilfælde: n = 7):

 \sum \alpha = (n - 2) \cdot 180^\circ = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ

Vinklen, som dannes mellem to forbundne kanter i en jævn, regelmæssig syvkant, er (ligeledes efter den almindelige formel for regelmæssige polygoner):

 \alpha = \frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{5}{7} \cdot 180^\circ \approx 128{,}57^\circ

Formel for arealet A[redigér | redigér wikikode]

En syvkant har et entydigt bestemmeligt areal, som kan beregnes ved opdeling i trekanter. Arealet af en syvkant er syv gange arealet af de trekanter, som kan dannes mellem middelpunktet og to ved siden af hinanden liggende hjørnepunkter.

 A = \frac{7}{4} \cdot s^2 \cdot \tan{\frac{450^\circ}{7}} \approx 3{,}63391 \cdot s^2

eller med omkreds:

 A = \frac{7}{2} \cdot r_u^2 \cdot \sin{\frac{360^\circ}{7}} \approx 2{,}73641 \cdot r_u^2

Formel for sidelængder s[redigér | redigér wikikode]

s = 2 \cdot r_u \cdot \sin{\frac{180^\circ}{7}}  \approx r_u \cdot 0{,}867767478235

Tilnærmelseskonstruktion[redigér | redigér wikikode]

En regelmæssig syvkant kan ikke konstrueres præcist med lineal og passer.

Efter Carl Friedrich Gauss' bevis kan, hvis n er et primtal, den og kun den n-kant konstrueres, hvor der findes et naturligt tal k, således at n er et primtal for hvilket der gælder n = 2^{2^k}+1 . Det er n = 3, 5, 17,\dots for k = 0, 1, 2,\dots

og således ingen for n = 7. Derfor kan der ikke findes en konstruktion for regelmæssige syvkanter.[1]

Der findes to metoder for tilnærmelseskonstruktioner. Her gennemgås kun den ene:

Alternativ konstruktion af syvkant
  1. I et retvinklet eller kartesisk koordinatsystem tegnes en cirkel, som har midtpunkt i (0,0) og en omkreds som går igennem det punkt P som har koordinaterne (2,4).
  2. Skæringspunktet mellem den positive y-akse og cirkelomkredsen er hjørnepunkt A.
  3. Den lige linje y = -1 (vandret, grøn linje) skærer omkredsen i umiddelbar nærhed af punkterne C og F.
  4. Hvis man skærer den strækningsymmetrale af linjen AC med omkredsen, får man tilnærmelsesvis hjørnepunktet B.
  5. Den røde linje \overline{AB} eller \overline{BC} er en ret god tilnærmelse for sidelængden i den regelmæssige syvkant.
  6. Hjørnepunkterne D, E og G opnås ved spejling.

Anvendelse af syvkanter i praksis[redigér | redigér wikikode]

  • Diagonalerne af den regelmæssige syvkant danner den syvtakkede stjerne (heptagrammet), som er ret populær i esoterik.
  • Mærsk benytter heptagrammet i sit flag.

Kilder[redigér | redigér wikikode]

  1. Emil Artin: Galoissche Theorie.(Tysk) Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144-167-8, s. 85.

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]


Polygoner
TrekantFirkantFemkantSekskantSyvkantOttekantNikantTikantHendecagonDodecagonTriskaidecagonPentadecagonHexadecagonHeptadecagonEnneadecagonIcosagonChiliagonMyriagon