Jævn cirkelbevægelse

Jævn cirkelbevægelse er en bevægelse med konstant vinkelhastighed i konstant afstand fra et omdrejningspunkt. Jorden udfører med god tilnærmelse en jævn cirkelbevægelse omkring Solen.

Kinematisk beskrivelse af jævn cirkelbevægelse

Hvis man indlægger et sædvanligt koordinatsystem med origo i centrum af den jævne cirkelbevægelse, er vektoren for centripetalkraften som funktion af tiden til det objekt som udfører bevægelsen givet ved

${\vec {r}}(t)={x(t) \choose y(t)}=r{\cos(\omega t) \choose \sin(\omega t)}$

hvor $r$ er radius i cirkelbevægelsen, $\omega$ er vinkelhastigheden, og $t$ er tiden. Det følger heraf at objektet gennemfører et omløb i tiden $\tau ={\frac {2\pi }{\omega }}$.

Hastigheden i den jævne cirkelbevægelse findes ved differentiation mht. tiden fordi hastigheden er ændringen i centripetalkraften som funktion af tid:

${\vec {v}}(t)={v_{x}(t) \choose v_{y}(t)}={\vec {r}}'(t)=\omega r{-\sin(\omega t) \choose \cos(\omega t)}$

Det fremgår heraf at farten i den jævne cirkelbevægelse også er konstant, nemlig $v=\omega r$, og at hastigheden står vinkelret på radiusvektor.

Accelerationen i den jævne cirkelbevægelse findes atter ved differentiation mht. tiden:

${\vec {a}}(t)={a_{x}(t) \choose a_{y}(t)}={\vec {v}}'(t)={\vec {r}}''(t)=-\omega ^{2}r{\cos(\omega t) \choose \sin(\omega t)}$

Det fremgår heraf at accelerationens størrelse i den jævne cirkelbevægelse også er konstant, nemlig $a=\omega ^{2}r$, og at accelerationen er parallel med radiusvektor og rettet ind mod centrum af bevægelsen. Der gælder endvidere følgende sammenhæng $a={\tfrac {v^{2}}{r}}$ mellem accelerationen og farten i cirkelbevægelsen.

Dynamisk beskrivelse af jævn cirkelbevægelse

Da farten i en jævn cirkelbevægelse er konstant, er bevægelsesmængden det også, men ligesom hastigheden bestandig ændrer retning, gør ${\vec {p}}$ det også. Der gælder

$p=mv=m\omega r$

hvor $m$ er massen af det objekt som udfører den jævne cirkelbevægelse.

Af Newtons anden lov følger at størrelsen af kraften i den jævne cirkelbevægelse er givet ved

$F=ma=m\omega ^{2}r$

Ligesom accelerationsvektoren ændrer kraftvektoren bestandig retning. Den peger ind mod centrum og kaldes derfor centripetalkraften.

Kraftmomentet er nul i en jævn cirkelbevægelse. Det følger af at kraftvektoren er parallel med radiusvektor. Derfor er kraftens arm nul. Som konsekvens heraf er impulsmomentet bevaret. Størrelsen af impulsmomentet er konstant lig

$l=rp=m\omega r^{2}$

Impulsmomentets retning er bestemt af at radiusvektor, kraftvektoren og impulsmomentvektoren danner en højreskrue.

Den kinetiske energi i en jævn cirkelbevægelse er givet ved

$E_{\mathrm {kin} }={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {m\omega ^{2}r^{2}}{2}}={\frac {I\omega ^{2}}{2}}={\frac {l^{2}}{2mr^{2}}}={\frac {l^{2}}{2I}}$

hvor $I=mr^{2}$ er inertimomentet.