Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Laplace-operatoren er en differential -operator , som skrives ∇2 , ∆ eller ∇·∇. Laplace-operatoren anvendes bl.a. i partielle differentialligninger , vektoranalyse , og fysikteorier som elektromagnetisme og kvantemekanik . Laplace-operatoren er opkaldt efter den franske matematiker og astronom Pierre-Simon Laplace (1749 -1827 ).
Laplace-operatoren i forskellige koordinatsystemer [ redigér | rediger kildetekst ] Laplace-operatoren er givet ved
Δ
f
=
∂
2
f
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
y
2
{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}
hvor x og y er de almindelige kartesiske koordinater af xy -planet. Heraf ses, at Laplaceoperatoren af en funktion er det samme som divergensen af gradienten af samme funktion, hvoraf skrivemåderne ∇2 og ∇·∇.
I polære koordinater
I et polært koordinatsystem er Laplace-operatoren givet ved
Δ
f
=
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
f
∂
θ
2
=
∂
2
f
∂
r
2
+
1
r
∂
f
∂
r
+
1
r
2
∂
2
f
∂
θ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}\\&={\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial r}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.\end{aligned}}}
I tre dimensioner er det almindeligt at arbejde med Laplace-operatoren i forskellige koordinatsystemer, og et bestemt koordinatsystem vælges ofte ud fra problemets form for at gøre beregningerne så simple som muligt.
I kartesiske koordinater
Δ
f
=
∂
2
f
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
y
2
+
∂
2
f
∂
z
2
.
{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
I cylindriske koordinater
Δ
f
=
1
ρ
∂
∂
ρ
(
ρ
∂
f
∂
ρ
)
+
1
ρ
2
∂
2
f
∂
φ
2
+
∂
2
f
∂
z
2
.
{\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}
I sfæriske koordinater
Δ
f
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
φ
2
.
{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.}
Nabla ∇ der benyttes som det symbolske grundlag.
Spire
