Metrik (relativitetsteori)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Disambig bordered fade.svg For alternative betydninger, se Metrik. (Se også artikler, som begynder med Metrik)
Scientist.svgSvært stof
Denne artikel omhandler svært stof. Der er endnu ikke taget hensyn til ikke-eksperter. Du kan hjælpe ved at skrive en letforståelig indledning.

I relativitetsteori forekommer der geometrier forskellig fra klassisk euklidisk geometri. Derfor er det nødvendigt at definere hvordan afstande og vinkler beregnes generelt i andre geometrier. En sådan definition kaldes geometriens metrik.

En metrik er i generel relativitetsteori et længdemål på en mangfoldighed.

Enhver symmetrisk co-variant tensor af dimension 2, fx definerer en metrik. En mangfoldighed udstyret med en metrik kaldes for en Riemann-mangfoldighed. En metrik kan bruges til at definere afstand og længden af vektorer. Den infinitesimale afstand (interval som det kaldes i relativitetsteori) som vi kalder ds, mellem to nabopunkter og er defineret som:

Bemærk at dette giver kvadratet på den infinitesimale afstand, (ds)², hvilket normalt skrives ds². Ovenstående udtryk kaldes også for linjeelementet, og kaldes også for den metriske form eller første fundamental form. Kvadratet på længden, eller normen, af en kontra-variant vektor X^a er defineret som

En metrik siges at være enten positiv eller negativ hvis der for alle vektorer, X, gælder hhv. enten at X² > 0 eller X² < 0. Hvis der både findes vektorer med positiv norm og vektorer med negativ norm, kaldes metrikken for ubestemt.

Vinklen mellem to vektorer og , med og er givet ved:

Specielt siges to vektorer at være ortogonale hvis .

Hvis metrikken er ubestemt (som tilfældet er i relativitetsteori), så eksisterer der vektorer der er ortogonale på sig selv, altså vektorer for hvilke det gælder at , sådanne vektorer kaldes nulvektorer.

Determinanten af metrikken skrives som .

Metrikken er ikke-singulær hvis , hvis dette er tilfældet, så er den inverse til , , givet ved

Det følger fra definitionen at er en kontra-variant vektor af dimension 2 og den kaldes for den kontra-variante metrik. Vi kan nu bruge og til at hæve og sænke indicies ved at definere,

og

Vi betragter fremover g, og som repræsentanter for det samme geometriske objekt, metriken g. Siden vi nu frit kan hæve og sænke indicies med metrikken, er det vigtigt at være forsigtig med hvilke vektorer der er co-variante og hvilke der er kontra-variante. For eksempel vil generelt være forskellig fra

Se også[redigér | redigér wikikode]