Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Kurve for initialreaktionsrate over substratkoncentration. Området ved de lave koncentrationer kaldes Region B, mens området med meget høje koncentrationer kaldes Region A
Michaelis-Menten-ligningen er inden for kemi en ligning , der beskriver initialreaktionshastigheden . dvs. reaktionsraten i begyndelsen fra substrat til produkt, hvor reaktionen er katalyseret af et enzym . Modellen blev oprindeligt formuleret af Leonor Michaelis og Maud Menten .
Modellen handler om en reaktion på formen:[1]
E
+
S
⟶
⟵
k
1
k
−
1
ES
⟶
k
2
E
+
P
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{E}}+{\text{S}}{\underset {k_{-1}}{\overset {k_{1}}{\begin{smallmatrix}\displaystyle \longrightarrow \\\displaystyle \longleftarrow \end{smallmatrix}}}}{\text{ES}}{\overset {k_{2}}{\longrightarrow }}{\text{E}}+{\text{P}}\end{aligned}}}
hvor E er enzymet, S er substratet, ES er enzym-substrat-komplekset , og P er produktet.
Initialreaktionshastigheden, hvormed P dannes, er givet ved:
v
0
=
V
m
a
x
[
S
]
K
m
+
[
S
]
{\displaystyle v_{0}={\frac {V_{max}[{\text{S}}]}{K_{m}+[{\text{S}}]}}}
Her er
v
0
{\displaystyle v_{0}}
initialraten,
V
m
a
x
{\displaystyle V_{max}}
den maksimale reaktionshastighed,
[
S
]
{\displaystyle [S]}
substratkoncentrationen, og
K
m
{\displaystyle K_{m}}
er Michaelis-konstanten .
Ved substratkoncentrationer meget lavere end Michaelis-konstanten reducerer ligningen til
v
0
=
V
m
a
x
[
S
]
K
m
{\displaystyle v_{0}={\frac {V_{max}[{\text{S}}]}{K_{m}}}}
Her udvikler reaktionsraten sig altså lineært med substratkoncentrationen. Ved substratkoncentrationer meget højere end Michaelis-konstanten reducerer ligningen til
v
0
=
V
m
a
x
[
S
]
[
S
]
=
V
m
a
x
{\displaystyle v_{0}={\frac {V_{max}[{\text{S}}]}{[{\text{S}}]}}=V_{max}}
Her udvikler reaktionsraten sig altså stort set ikke substratkoncentrationen, men er på et konstant maksimum. På billedet ses den resulterende graf for reaktionsraten over substratkoncentrationen.[1]
Når hastigheden svarer til det halve af
V
m
a
x
{\displaystyle V_{max}}
, er substratkoncentrationen lig med Michaelis-Menten-konstanten:
V
m
a
x
2
=
V
m
a
x
[
S
]
K
m
+
[
S
]
1
2
=
[
S
]
K
m
+
[
S
]
K
m
+
[
S
]
=
2
[
S
]
K
m
=
[
S
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {V_{max}}{2}}&={\frac {V_{max}[{\text{S}}]}{K_{m}+[{\text{S}}]}}\\{\frac {1}{2}}&={\frac {[{\text{S}}]}{K_{m}+[{\text{S}}]}}\\K_{m}+[{\text{S}}]&=2[{\text{S}}]\\K_{m}&=[{\text{S}}]\end{aligned}}}
Modellen kan udledes ved først at antage, at reaktionsraten for produktet er proportional med koncentrationen af ES:
v
0
=
k
2
[
ES
]
{\displaystyle v_{0}=k_{2}[{\text{ES}}]}
Reaktionen fra E og S til ES er:
v
1
=
k
1
[
E
]
[
S
]
{\displaystyle v_{1}=k_{1}[{\text{E}}][{\text{S}}]}
Og tilbage:
v
−
1
=
k
−
1
[
ES
]
{\displaystyle v_{-1}=k_{-1}[{\text{ES}}]}
Det antages, at der er opstået ligevægt, således at koncentrationen af ES er konstant. Dermed må de tre reaktionshastigheder udligne hinanden:
v
1
=
v
−
1
+
v
0
k
1
[
E
]
[
S
]
=
(
k
−
1
+
k
2
)
[
ES
]
k
1
k
−
1
+
k
2
=
[
ES
]
[
E
]
[
S
]
K
m
=
[
E
]
[
S
]
[
ES
]
{\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=v_{-1}+v_{0}\\k_{1}[{\text{E}}][{\text{S}}]&=(k_{-1}+k_{2})[{\text{ES}}]\\{\frac {k_{1}}{k_{-1}+k_{2}}}&={\frac {[{\text{ES}}]}{[{\text{E}}][{\text{S}}]}}\\K_{m}&={\frac {[{\text{E}}][{\text{S}}]}{[{\text{ES}}]}}\end{aligned}}}
hvor
K
m
≡
k
−
1
+
k
2
k
1
{\displaystyle K_{m}\equiv {\frac {k_{-1}+k_{2}}{k_{1}}}}
Enzymkoncentrationen må være den oprindelige koncentration
[
E
]
0
{\displaystyle [{\text{E}}]_{0}}
minus koncentrationen af enzym-substrat-komplekset:
[
E
]
=
[
E
]
0
−
[
ES
]
{\displaystyle [{\text{E}}]=[{\text{E}}]_{0}-[{\text{ES}}]}
Substratkoncentrationen antages ikke at have ændret sig betydeligt. Disse antagelser indsættes, og
[
ES
]
{\displaystyle [{\text{ES}}]}
isoleres:
K
m
=
(
[
E
]
0
−
[
ES
]
)
[
S
]
[
ES
]
K
m
=
[
E
]
0
[
S
]
−
[
ES
]
[
S
]
[
ES
]
K
m
[
ES
]
=
[
E
]
0
[
S
]
−
[
ES
]
[
S
]
(
K
m
+
[
S
]
)
[
ES
]
=
[
E
]
0
[
S
]
[ES]
=
[
E
]
0
[
S
]
K
m
+
[
S
]
{\displaystyle {\begin{aligned}K_{m}&={\frac {([{\text{E}}]_{0}-[{\text{ES}}])[{\text{S}}]}{[{\text{ES}}]}}\\K_{m}&={\frac {[{\text{E}}]_{0}[{\text{S}}]-[{\text{ES}}][{\text{S}}]}{[{\text{ES}}]}}\\K_{m}[{\text{ES}}]&=[{\text{E}}]_{0}[{\text{S}}]-[{\text{ES}}][{\text{S}}]\\(K_{m}+[{\text{S}}])[{\text{ES}}]&=[{\text{E}}]_{0}[{\text{S}}]\\{\text{[ES]}}&={\frac {[{\text{E}}]_{0}[{\text{S}}]}{K_{m}+[{\text{S}}]}}\end{aligned}}}
Ved at gange
k
2
{\displaystyle k_{2}}
på fås Michaelis-Menten-ligningen:[2]
v
0
=
k
2
[
E
]
0
[
S
]
K
m
+
[
S
]
v
0
=
V
m
a
x
[
S
]
K
m
+
[
S
]
{\displaystyle {\begin{aligned}v_{0}&=k_{2}{\frac {[{\text{E}}]_{0}[{\text{S}}]}{K_{m}+[{\text{S}}]}}\\v_{0}&={\frac {V_{max}[{\text{S}}]}{K_{m}+[{\text{S}}]}}\\\end{aligned}}}
hvor
V
m
a
x
=
k
2
[
E
]
0
{\displaystyle V_{max}=k_{2}[{\text{E}}]_{0}}
Jo større den tilsatte enzymkoncentration er, jo større hastighed vil reaktionen altså have mulighed for at forløbe med.
Spire