Panserformlen

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Panserformlen er en matematisk formel der bruges når man skal finde en fuldstændig løsning ud fra en lineær differentialligning af første orden.

Formlen giver løsningen til differentialligningen

for to kontinuerte funktioner, og , under betingelsen . Formlen er givet ved:

,

hvor er en stamfunktion til .[1]

Bevis[redigér | redigér wikikode]

Panserformlen kan bevises ved at antage, at en stamfunktion til eksisterer. På begge sider af differentialligningen multiplicerer man først med opløftet i sådan:

Da der gælder at:

kan man skrive differentialligningen sådan:

Vha. produktreglen for differentiation kan man føje de to led med sammen sådan:

Man integrerer mht. på begge sider, hvilket ophæver differentiationen på venstresiden:

hvor er en integrationskonstant, som tilhører de reelle tal.[2]

Konstanten flytter man over på højresiden, og man dividerer med sådan:

Så har man isoleret .[1] Den endelige integrationskonstant kan man nu bestemme, hvis er kendt til et bestemt punkt , således at .

Panserformlen er hermed bevist.

Q.E.D.

Der findes et alternativt bevis for panserformlens korrekthed.[3]

Referencer[redigér | redigér wikikode]

MatematikSpire
Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.