Sinusrelation

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
En vilkårlig trekant

Sinusrelationen er en matematisk formel inden for trigonometrien, som knytter længden af en trekants sider og størrelsen af dens vinkler sammen i et regneudtryk: Dividerer man længden af en side med sinus til den modstående vinkel, får man samme forholdstal for alle tre "par" af sider og modstående vinkler. Almindeligvis kaldes siderne for a, b og c og deres modstående vinkler for hhv. A, B og C, og med den notation ser formlen således ud:

\frac{a}{\sin (A)} = \frac{b}{\sin (B)} = \frac{c}{\sin (C)}=2R

R er radius i trekantens omskrevne cirkel.

For at beregne vinklerne i en trekant kan denne omskrivning bruges:

\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}

Bemærk at sinusrelationen gælder for alle trekanter.

Formlen kan bruges til at finde enten sidelængder eller vinkler i en trekant ved at lave en ligning ud af to af de tre brøker, og isolere enten en side eller en vinkel på den ene side af lighedstegnet. I sidstnævnte tilfælde fås, at sinus til en vinkel er lig med en given størrelse – og sådan en ligning har to principale løsninger; en stump eller en spids vinkel. Da det gælder, at \sin(180-v)=\sin(v) kan man ikke se forskel på stump eller spids og der kan være to løsninger til trekanten. Af den grund bruger man kun sinusrelationen til at bestemme vinkler i trekanter hvis ikke cosinusrelationerne eller andre formler giver entydige løsninger.

Bevis for sinusrelationerne[redigér | redigér wikikode]

Der findes tre formler for udregning af areal i vilkårlige trekanter, som alle er lig T. (se trekant) Disse må derfor nødvendigvis være lig hinanden.[1]

\frac{1}{2}\cdot{b}\cdot{c}\cdot{\sin(A)}=\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{c}\cdot{\sin(B)}=\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{b}\cdot{\sin(C)}

Der divideres med \frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{b}\cdot{c} på alle sider af lighedstegnene:

\frac{\frac{1}{2}\cdot{b}\cdot{c}\cdot{\sin(A)}}{\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{b}\cdot{c}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{c}\cdot{\sin(B)}}{\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{b}\cdot{c}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{b}\cdot{\sin(C)}}{\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{b}\cdot{c}}

Dette resulterer i:

\frac{\sin (A)}{a}= \frac{\sin (B)}{b}= \frac{\sin (C)}{c}


Se også[redigér | redigér wikikode]

Kilder/referencer[redigér | redigér wikikode]

  1. Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog B1, 1. udgave, 4. oplag 2006 ISBN 87-02-03327-5.

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]

CosSinCalc – Et online-værktøj, der udregner siderne og vinklerne på en trekant for dig.