Sinusrelation

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
En vilkårlig trekant

Sinusrelationen er en matematisk formel inden for trigonometrien, der sammenfatter længden af en trekants sider og størrelsen af dens vinkler i et regneudtryk: Dividerer man længden af en side med sinus til den modstående vinkel, får man samme forholdstal for alle tre "par" af sider og modstående vinkler. Almindeligvis kaldes siderne for a, b og c og deres modstående vinkler for hhv. A, B og C, og med den notation ser formlen således ud:

R er radius i trekantens omskrevne cirkel.

Til beregning af vinklerne i en trekant kan denne omskrivning bruges:

Bemærk at sinusrelationen gælder for alle trekanter.

Formlen kan bruges til at finde enten sidelængder eller vinkler i en trekant ved at lave en ligning ud af to af de tre brøker, og isolere enten en side eller en vinkel på den ene side af lighedstegnet. I sidstnævnte tilfælde fås, at sinus til en vinkel er lig med en given størrelse – og sådan en ligning har to principale løsninger: en stump eller en spids vinkel. Da det gælder, at kan man ikke se forskel på stump eller spids, og der kan være to løsninger til trekanten. Derfor bruges sinusrelationen kun til at bestemme vinkler i trekanter, hvor cosinusrelationerne eller andre formler ikke giver entydige løsninger.

Bevis for sinusrelationerne[redigér | redigér wikikode]

Der findes tre formler for udregning af areal i vilkårlige trekanter, som alle er lig T. (se trekant) Disse må derfor nødvendigvis være lig hinanden.[1]

Der divideres med på alle sider af lighedstegnene:

Dette resulterer i:

Sinusrelationen for sfæriske trekanter[redigér | redigér wikikode]

For sfæriske trekanter på en kugleoverflade gælder en tilsvarende sinusrelation:

Da det gælder for sinus-funktionen at

ses at den sfæriske sinusrelation vil tilnærme sig den sædvanlige sinusrelation når sidelængderne går mod 0, svarende til den sfæriske trekants krumning aftager.

Se også[redigér | redigér wikikode]

Kilder/referencer[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog B1, 1. udgave, 4. oplag 2006 ISBN 87-02-03327-5.

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]

CosSinCalc – Et online-værktøj, der udregner siderne og vinklerne på en trekant for dig.