Indre produkt: Forskelle mellem versioner

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Content deleted Content added
Pred (diskussion | bidrag)
m euklidisk vektorrum -> indre produkt-rum.
JAnDbot (diskussion | bidrag)
m robot Tilføjer: ar, cs, fi, is, it, ro, ru, sv, ur Fjerner: nl
Linje 23: Linje 23:
[[Kategori:Algebra]]
[[Kategori:Algebra]]


[[ar:فضاء الجداء الداخلي]]
[[cs:Unitární prostor]]
[[de:Prähilbertraum]]
[[de:Prähilbertraum]]
[[en:Inner product space]]
[[en:Inner product space]]
[[es:Espacio prehilbertiano]]
[[es:Espacio prehilbertiano]]
[[fi:Sisätuloavaruus]]
[[fr:Espace préhilbertien]]
[[fr:Espace préhilbertien]]
[[he:מרחב מכפלה פנימית]]
[[he:מרחב מכפלה פנימית]]
[[nl:Inwendig product]]
[[is:Innfeldi]]
[[it:Spazio prehilbertiano]]
[[ja:計量ベクトル空間]]
[[ja:計量ベクトル空間]]
[[pl:Przestrzeń unitarna]]
[[pl:Przestrzeń unitarna]]
[[pt:Produto interno]]
[[pt:Produto interno]]
[[ro:Spaţiu prehilbertian]]
[[ru:Предгильбертово пространство]]
[[sv:Inre produktrum]]
[[ur:اندرونی حاصل ضرب فضا]]
[[zh:内积空间]]
[[zh:内积空间]]

Versionen fra 22. dec. 2008, 16:53

Et indre produkt er i matematikken en funktion f: V×VR hhv. f: V×VC, hvor V er et reelt hhv. komplekst vektorrum, der opfylder tre betingelser. Værdien f(u, v) skrives dog normalt ⟨u, v⟩.

Lad os først se på det reelle tilfælde, så lad i det følgende u, v, w være vilkårlige vektorer i et reelt vektorrum V, og r, s være vilkårlige reelle tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

  1. Bilineær: ⟨ru + sv, w⟩ = ru,w⟩ + sv, w⟩ og ⟨u, rv + sw⟩ = ru,v⟩ + su, w⟩.
  2. Symmetrisk: ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩.
  3. Tro: ⟨v, v⟩ ≥ 0 og ⟨v, v⟩ = 0 ⇔ v = 0.

Altså er et indre produkt på et reelt vektorrum en positiv definit ikke-degenereret symmetrisk bilinearform.

Et eksempel på et indre produkt, er prikproduktetRn, defineret ved

uv = ∑ uivi,

hvor u = (u1, u2, ..., un) og v = (v1, v2, ..., vn).


I det komplekse tilfælde er reglerne lidt anderledes. Lad nu u, v, w være vilkårlige vektorer i et komplekst vektorrum V, og z, w være vilkårlige komplekse tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

  1. og .
  2. .
  3. og .

Anden del af 1. er ofte udeladt af definitionen, da det følger af 2.

Et vektorrum med et indre produkt, kaldes et indre produkt-rum.

MatematikSpire
Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.