Indre produkt: Forskelle mellem versioner
Pred (diskussion | bidrag) m euklidisk vektorrum -> indre produkt-rum. |
JAnDbot (diskussion | bidrag) m robot Tilføjer: ar, cs, fi, is, it, ro, ru, sv, ur Fjerner: nl |
||
Linje 23: | Linje 23: | ||
[[Kategori:Algebra]] |
[[Kategori:Algebra]] |
||
[[ar:فضاء الجداء الداخلي]] |
|||
[[cs:Unitární prostor]] |
|||
[[de:Prähilbertraum]] |
[[de:Prähilbertraum]] |
||
[[en:Inner product space]] |
[[en:Inner product space]] |
||
[[es:Espacio prehilbertiano]] |
[[es:Espacio prehilbertiano]] |
||
[[fi:Sisätuloavaruus]] |
|||
[[fr:Espace préhilbertien]] |
[[fr:Espace préhilbertien]] |
||
[[he:מרחב מכפלה פנימית]] |
[[he:מרחב מכפלה פנימית]] |
||
[[ |
[[is:Innfeldi]] |
||
[[it:Spazio prehilbertiano]] |
|||
[[ja:計量ベクトル空間]] |
[[ja:計量ベクトル空間]] |
||
[[pl:Przestrzeń unitarna]] |
[[pl:Przestrzeń unitarna]] |
||
[[pt:Produto interno]] |
[[pt:Produto interno]] |
||
[[ro:Spaţiu prehilbertian]] |
|||
[[ru:Предгильбертово пространство]] |
|||
[[sv:Inre produktrum]] |
|||
[[ur:اندرونی حاصل ضرب فضا]] |
|||
[[zh:内积空间]] |
[[zh:内积空间]] |
Versionen fra 22. dec. 2008, 16:53
Et indre produkt er i matematikken en funktion f: V×V → R hhv. f: V×V → C, hvor V er et reelt hhv. komplekst vektorrum, der opfylder tre betingelser. Værdien f(u, v) skrives dog normalt ⟨u, v⟩.
Lad os først se på det reelle tilfælde, så lad i det følgende u, v, w være vilkårlige vektorer i et reelt vektorrum V, og r, s være vilkårlige reelle tal. Nu skal et indre produkt opfylde:
- Bilineær: ⟨ru + sv, w⟩ = r⟨u,w⟩ + s⟨v, w⟩ og ⟨u, rv + sw⟩ = r⟨u,v⟩ + s⟨u, w⟩.
- Symmetrisk: ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩.
- Tro: ⟨v, v⟩ ≥ 0 og ⟨v, v⟩ = 0 ⇔ v = 0.
Altså er et indre produkt på et reelt vektorrum en positiv definit ikke-degenereret symmetrisk bilinearform.
Et eksempel på et indre produkt, er prikproduktet på Rn, defineret ved
- u • v = ∑ uivi,
hvor u = (u1, u2, ..., un) og v = (v1, v2, ..., vn).
I det komplekse tilfælde er reglerne lidt anderledes. Lad nu u, v, w være vilkårlige vektorer i et komplekst vektorrum V, og z, w være vilkårlige komplekse tal. Nu skal et indre produkt opfylde:
- og .
- .
- og .
Anden del af 1. er ofte udeladt af definitionen, da det følger af 2.
Et vektorrum med et indre produkt, kaldes et indre produkt-rum.
Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den. |