Vektorrum

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Inden for matematik er et vektorrum en abstrakt algebraisk struktur. Definitionen af et vektorrum er inspireret af de sædvanlige geometriske vektorer, og den sikrer at der er to regneoperationer, nemlig addition af vektorer med vektorer og multiplikation at en vektor med en skalarer (se næste afsnit), som er stabile i den betydning at resultatet altid også er en vektor som ved almindelige geometriske vektorer (disse er således et specialtilfælde af vektorer).

Definition[redigér | redigér wikikode]

Ved et vektorrum over legemet (også kaldet et -vektorrum) forstås en mængde udstyret med to operationer

og

som opfylder følgende betingelser (aksiomer):

  • Additionen gør til en abelsk (dvs. kommutativ) gruppe. Det betyder at
    1. for alle (associativitet)
    2. Der eksisterer et neutralt element kaldet nulvektoren som opfylder at for alle
    3. Enhvert element har et inverst element (en modsat vektor) kaldet som opfylder at
    4. for alle (kommutativitet)
  • Multiplikationen opfylder betingelserne (gangetegnet udelades normalt)
    1. for alle og (en slags associativitet)
    2. for alle og (distributivitet over additionen i )
    3. for alle og (distributivitet over additionen i legemet )
    4. for alle hvor betegner ét-elementet (det multiplikative neutralelement) i legemet,

Elementerne i kaldes da vektorer, mens elementerne i kaldes skalarer.

Bemærk at der skal foreligge et legeme med alt hvad det indebærer, før man kan indføre et vektorrum. Meget ofte er legemet simpelthen , de reelle tal, eller , de komplekse tal, men vektorrum over andre legemer betragtes også. Hvis man i det ovenstående udskifter legemet med en generel ring, omtaler man ikke som et vektorrum, men som en modul (eller et modul).

Vektorrum er centrale inden for disciplinen lineær algebra, men de forekommer også inden for (stort set alle) mere avancerede matematiske områder.

Tilknyttede begreber[redigér | redigér wikikode]

Underrum[redigér | redigér wikikode]

En ikke-tom delmængde kaldes et underrum af vektorrummet, hvis det er lukket under addition af vektorer og multiplikation med skalar, altså hvis er indeholdt i for alle og er indeholdt i for alle vektorer og skalarer . Et underrum af et vektorrum er i sig selv et vektorrum (over samme legeme), med de samme (men restringerede) regneoperationer.

Linearkombination, basis og dimension[redigér | redigér wikikode]

En mængde af vektorer fra kaldes en basis for vektorrummet hvis det gælder at ethvert element på én og kun én måde kan opskrives som et udtryk af typen

hvor alle og alle . En sum af denne type kaldes i øvrigt en linearkombination.

Alle baser for et bestemt vektorrum består af lige mange elementer. Dette antal (der eventuelt kan være et transfinit kardinaltal) kaldes vektorrummets dimension.

Hvis dimensionen er endelig, kan et valg af en fast basis bruges til at koordinatisere vektorrummet.

Hvis er et endeligt legeme med elementer, og er et -dimensionalt vektorrum over , så indeholder præcis vektorer.

Eksempler[redigér | redigér wikikode]

Standardeksemplet på et vektorrum (over ) er , planen. Vektorerne er da talpar som kan repræsenteres ved pile. Sådanne vektorer kendes fra gymnasiet. Generalisationen til , talsæt af typen , er ligetil.

Mængden af alle "formelle" polynomier (med reelle koefficienter) i en (abstrakt) variabel er et vektorrum. To polynomier kan nemlig adderes hvorved man får et nyt polynomium, man kan gange et polynomium med et tal, og alle ovenstående aksiomer (krav) er opfyldt.

Mængden af sådan polynomier af grad højst 2 er et underrum heraf. Dette underrum har dimension 3 da en basis for det fx er .

Lad være en vilkårlig (definitions)mængde. Så er mængden af alle afbildninger et vektorrum. Addition og multiplikation er de oplagte

For eksempel er mængden af alle funktioner et vektorrum over .

Mængden af integrable (se integralregning) reelle funktioner på er ligeledes et vektorrum, og underrum af ovennævnte. Et underrum heraf igen kunne være , mængden af vilkårligt ofte differentiable funktioner på .

En etpunktsmængde er et trivielt vektorrum (addition og multiplikation kan kun defineres på én måde). Basis for dette vektorrum er den tomme mængde, ; derfor er dimensionen af det trivielle vektorrum 0.

Matematik Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.