Indre produkt

Der er ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem.

Du kan hjælpe ved at angive kilder til de påstande, der fremføres. Hvis ikke der tilføjes kilder, vil artiklen muligvis blive slettet.

Et indre produkt er i matematikken en funktion $f\colon V\times V\rightarrow \mathbb {R}$ eller $f\colon V\times V\rightarrow \mathbb {C}$ , hvor V er et reelt hhv. komplekst vektorrum, der opfylder tre betingelser. Værdien $f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$ skrives dog normalt $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$ .

Lad os først se på det reelle tilfælde, så lad i det følgende u, v, w være vilkårlige vektorer i et reelt vektorrum V, og r, s være vilkårlige reelle tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

$\langle r\mathbf {u} +s\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =r\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +s\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$ og $\langle \mathbf {u} ,r\mathbf {v} +s\mathbf {w} \rangle =r\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +s\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle$ .
$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle$ .
$\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0$ og $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0\Leftrightarrow \mathbf {v} =\mathbf {0}$ .

Altså er et indre produkt på et reelt vektorrum en positiv definit ikke-degenereret symmetrisk bilinearform.

Et eksempel på et indre produkt, er prikproduktet på $\mathbb {R} ^{n}$ , defineret ved

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}

,

hvor $\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})^{T}$ og $\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})^{T}$ .

I det komplekse tilfælde er reglerne lidt anderledes. Lad nu u, v, w være vilkårlige vektorer i et komplekst vektorrum V, og z, w være vilkårlige komplekse tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

$\langle z\mathbf {u} +w\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =z\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +w\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$ og $\langle \mathbf {u} ,z\mathbf {v} +w\mathbf {w} \rangle ={\overline {z}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +{\overline {w}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$ .
$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}$ .
$\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0$ og $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0\Leftrightarrow \mathbf {v} =\mathbf {0}$ .