Indre produkt

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Et indre produkt er i matematikken en funktion eller , hvor V er et reelt hhv. komplekst vektorrum, der opfylder tre betingelser. Værdien skrives dog normalt .

Lad os først se på det reelle tilfælde, så lad i det følgende u, v, w være vilkårlige vektorer i et reelt vektorrum V, og r, s være vilkårlige reelle tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

  1. og .
  2. .
  3. og .

Altså er et indre produkt på et reelt vektorrum en positiv definit ikke-degenereret symmetrisk bilinearform.

Et eksempel på et indre produkt, er prikproduktet, defineret ved

,

hvor og .


I det komplekse tilfælde er reglerne lidt anderledes. Lad nu u, v, w være vilkårlige vektorer i et komplekst vektorrum V, og z, w være vilkårlige komplekse tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

  1. og .
  2. .
  3. og .

Anden del af 1. er ofte udeladt af definitionen, da det følger af 2.

Et vektorrum med et indre produkt, kaldes et indre produkt-rum.

Matematik Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.