Varians

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Varians er et begreb inden for sandsynlighedsregning og statistik, der angiver variabiliteten af en stokastisk variabel. Mens middelværdien angiver det niveau, som den stokastiske variabels værdier i gennemsnit ligger på, er variansen et mål for, hvor meget disse værdier i gennemsnit afviger fra middelværdien.

Variansen for en stokastisk variabel X er defineret som

\mbox{Var}(X) = \mbox{E}\left((X-\mbox{E}(X))^2\right)

hvor \mbox{E}(X) angiver middelværdien af den stokastiske variabel. Det kan let vises, at

\mbox{Var}(X) = \mbox{E}(X^2) - \left(\mbox{E}(X)\right)^2

Standardafvigelsen eller Spredningen', \sigma, af en stokastisk variabel er defineret som kvadratroden af variansen, dvs.

\sigma = \sqrt{\mbox{Var}(X)}

Empiriske størrelser[redigér | redigér wikikode]

Hvis man har et datasæt bestående af observationerne x_1,\ldots,x_n og ønsker at beregne et skøn over variansen, benyttes normalt den empiriske varians s^2. Denne er givet ved

s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}{n-1}

hvor \bar{x} er gennemsnittet af observationerne (et skøn over middelværdien) og n er antallet af observationer.

Den empiriske spredning s er givet ved kvadratroden af den empiriske varians.

Regneteknisk kan \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 beregnes som \sum_{i=1}^n x_i^2 - \frac{(\sum_{i=1}^nx_i)^2}{n}, hvilket betyder, at man kan summere data op løbende uden at beholde de enkelte observationer.

Regneregler for varians[redigér | redigér wikikode]

Variansen af en stokastisk variabel ganget med en konstant er lig variansen for variablen ganget med konstanten opløftet i 2. potens. Variansen ændres derimod ikke, hvis der lægges en konstant til. Disse to regneregler kan udtrykkes matematisk således (hvor X er en stokastisk variabel, og a og b er konstanter):

\mbox{Var}(a \cdot X + b) = a^2 \cdot \mbox{Var}(X)

Variansen af en sum af to forskellige stokastiske variable er lig summen af deres varians samt 2 gange deres kovarians. Hvis X og Y er to stokastiske variable med kovarians \mbox{Cov}(X,Y) skrives det:

\ \mbox{Var}(X+Y) = \mbox{Var}(X) + \mbox{Var}(Y) + 2\mbox{Cov}(X,Y)

Hvis X og Y er stokastisk uafhængige bliver kovariansen nul, og udtrykket kan reduceres til

\ \mbox{Var}(X+Y) = \mbox{Var}(X) + \mbox{Var}(Y)

Se også[redigér | redigér wikikode]

Matematik Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.