Zenons paradokser

Hvem kommer først? Haren eller skilpadden?

Zenons Paradoks (efter Zenon fra Elea) er et tankeeksperiment, der leder til et paradoks. Det illustrerer nogle af de følger, uendeligheder har inden for matematikken.

Zenon lader helten fra oldgræsk mytologi Achilleus løbe om kap med en skildpadde. Achilleus lader skildpadden få et forspring på 100 meter. Han begynder at løbe, og da han når de 100 meter, er skildpadden kravlet ti meter længere. Han løber derefter de ti meter, men i mellemtiden er skildpadden nået en meter længere frem. Han løber den ene meter, men i mellemtiden er skildpadden nået ti centimeter længere. Således vil Achilleus blive ved med at komme tættere og tættere på skildpadden, og faktisk kommer han uendelig tæt på den, men han vil aldrig overhale den, skønt han vitterlig løber hurtigere end sin modstander.

Foreslåede løsninger

Matematisk betragtet løsning

Paradokset bygger på en forestilling om ikke-uendelig tid – altså netop at tiden slutter. Samtidig med, at vi fremskriver de to konkurrenters position, så fremskriver vi også den tid, der er gået. Hvis det for eksempel tager Achilleus et minut at løbe de første 100 meter, og hvis han løber med konstant hastighed, så vil det efterfølgende tage ham 1/10 minut eller 6 sekunder at løbe de næste 10 meter. Og den næste meter løber han på 0,6 sekund og så fremdeles. Altså vil tiden gå imod et endeligt tidspunkt.

Dette tidspunkt kan udregnes som den uendelige række:

$1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots$

Eller generelt opstilles som:

$\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{k}$

Altså en uendelig række af endelige tidspunkter – som Zenon argumenterer for skal give uendelig tid. Dette er dog ikke tilfældet, da ovenstående formel er en instans af den generelle geometriske række:

$a\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$

Der generelt for $x<1$ er en konvergent følge og giver $a/(1-x)$. I vores tilfælde har vi da, at $a=1$ og $x=1/10$ hvorved vi får:

$\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {10}{9}}$

Altså vil Achilleus ikke have uendelig tid til at indhente skildpadden – han vil kun have $10/9$ minutter eller 1 minut og 6⅔ sekunder, hvilket faktisk er en tid, som han aldrig når – han kommer blot tættere og tættere på at have den tid i det uendelige.

Hvis vi i stedet regner personernes position ud i forhold til tiden, så vil vi nå frem til, at når der er gået to minutter, så vil Achilleus befinde sig 80 meter foran skildpadden. Faktisk kan vi af ovenstående se, at efter præcis et minut og 6⅔ sekunder vil Achilleus være nået præcist lige så langt som skildpadden – og efter blot 1 minut og 7 sekunder vil han altså være foran den.

Hvis vi ændrer forholdet mellem, hvor langt skildpadden løber i forhold til Achilleus, forspringet som Achilleus giver skildpadden, eller den hastighed, som Achilleus løber med, vil vi i ovenstående beregninger få nogle andre tal – men ikke desto mindre samme konklusion.

Endelig opdeling som forklaring

En anden løsningsmodel er at sige, at distance og tid ikke er uendeligt opdelelige. Altså, at vi ikke kan blive ved med at opdele stof og tid i det uendelige, da der er en nedre grænse herfor – for eksempel omtaler fysikere Planck-længde og Planck-tid som de mindste, målbare størrelser.

Tænkelogistik

Zenon erklærer at A løber på bane 2 løber B på bane 1. B tillades kun at løbe på A's sidste bane, hvilket giver mulighed for A at løbe næste bane i den mellemliggende tid. B tildeles en betinget distanceetape som A har lavet. B er underordnet A. Betingelsen er bygget på to forhold, nemlig af at præstationsevnernes indbyrdes forhold og forspringet med en bane. A udnytter B's handicap og beholder sit forspring med 1 bane. Løbet bliver aldrig færdigt og derfor vil der aldrig foreligge et slutresultat. Det kan reelt ikke betragtes som et kapløb, men der er snarere tale om betinget banebrug med betingede banestørrelser.

Paradokset peger oprindeligt på bevægelsens umulighed, hvor Zenon påstår at al bevægelse er en illusion, hvilket er noget helt andet – et filosofisk og eksistentielt spørgsmål. At relativitet, som dette eksempel med rationelle størrelser peger på, indeholder mere: irrationelle begreber.