Aritmetik

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Aritmetik (gr. arithmetiké, læren om tal, af gr. arithmos, tal) er en gren af matematikken, der studerer de fundamentale principper ved visse aritmetiske operationertal. De traditionelle operationer er addition (+), subtraktion (-), multiplikation (*) og division (/); men også de lidt mere avancerede rødder og eksponent er en del af aritmetikken. Aritmetiske operationer udføres i forhold til de forskellige operationers prioritet.

Denne prioritet er som følger:

  • 1. eksponenter, potenser
  • 2. multiplikation, division
  • 3. addition, subtraktion

Rødder indgår under potenser, da de kan skrives om:

\sqrt{z}=z^{\frac{1}{2}}

\sqrt[4]{z}=z^{\frac{1}{4}}

Mere generelt:

\sqrt[x]{z}^y=z^{\frac{y}{x}}

Disse er vigtige at huske, når ligninger skal løses.

Aritmetik med naturlige tal, heltal, rationale tal og reelle tal bliver der undervist i på folkeskoleniveau.

Udtrykket aritmetisk bruges sommetider også om talteori.

Prioriteringsrækkefølge[redigér | redigér wikikode]

Først demonstreres, hvorledes simple ligningssystemer løses. Man skal ALTID gøre det samme på begge sider af lighedstegnet:

Addition/subtraktion Multiplikation/division
Husk at holde styr på fortegnene. Husk altid at benytte sig af parenteser, når ligninger løses ved division/multiplikation på begge sider af lighedstegnet:
Addition

x-2=-3\quad \Leftrightarrow \quad x-2+2=-3+2 \quad \Leftrightarrow

x=-1

Multiplikation

k er en konstant.

\frac{x}{2}=-3+k\quad \Leftrightarrow \quad \frac{2\cdot x}{2}=2\cdot (-3+k) \quad \Leftrightarrow \quad x=-6+2\cdot k

Subtraktion

2+x=-3\quad \Leftrightarrow \quad 2+x-2=-3-2 \quad \Leftrightarrow

x=-5

Division

k er en konstant.

2\cdot x=-3+k\quad \Leftrightarrow \quad \frac{2\cdot x}{2}=\frac{(-3+k)}{2} \quad \Leftrightarrow \quad x=\frac{-3}{2}+\frac{k}{2}

  • Fremgangsmetoden

Her vises vha. konstanter, hvordan regnereglerne skal benyttes korrekt:

3((x-2)^2-3)=\frac{8}{x^2}

De rigtige fremgangsmåder skal nu huskes,

  • Først, potenser

Vi har to potenser, en ved

(x-2)^2

og

x^2

, hhv. den første skal ganges ud, mens den sidste ikke kan forkortes mere end allerede.

3((x-2)^2-3)=\frac{8}{x^2}\quad \Leftrightarrow \quad 3((x-2)\cdot (x-2)-3)=\frac{8}{x^2}\quad \Leftrightarrow \quad

3(x^2-4x+4-3)=\frac{8}{x^2}

  • Anden, division/multiplikation

Da ganges ind i parenteserne osv.

3(x^2-4x+1)=\frac{8}{x^2}\quad \Leftrightarrow \quad 3x^2-12x+3=\frac{8}{x^2}\quad \Leftrightarrow

x^2(3x^2-12x+3)=8\quad \Leftrightarrow \quad 3(x^2)^2-12x\cdot x^2+3x^2=8\quad \Leftrightarrow

3x^4-12x^3 +3x^2=8\quad \Leftrightarrow \quad x^4-4x^3 +x^2=\frac{8}{3}

Ovenstående to ligninger kan man selv vælge, hvilken der falder bedst i smag.

Se også[redigér | redigér wikikode]

Commons-logo.svg
Wikimedia Commons har medier relateret til: