Aritmetik Aritmetik (gr. arithmetiké, læren om tal, af gr. arithmos, tal) er en gren af matematikken , der studerer de fundamentale principper ved visse aritmetiske operationer på tal .
De traditionelle operationer er addition (+), subtraktion (-), multiplikation (*) og division (/); men også de lidt mere avancerede rødder og eksponent er en del af aritmetikken.
Aritmetiske operationer udføres i forhold til de forskellige operationers prioritet .
Denne prioritet er som følger:
1. eksponenter, potenser
2. multiplikation, division
3. addition, subtraktion Rødder indgår under potenser, da de kan skrives om:
z
=
z
1
2
{\displaystyle {\sqrt {z}}=z^{\frac {1}{2}}}
z
4
=
z
1
4
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{z}}=z^{\frac {1}{4}}}
Mere generelt:
z
x
y
=
z
y
x
{\displaystyle {\sqrt[{x}]{z}}^{y}=z^{\frac {y}{x}}}
Disse er vigtige at huske, når ligninger skal løses.
Aritmetik med naturlige tal , heltal , rationale tal og reelle tal bliver der undervist i på folkeskoleniveau.
Udtrykket aritmetisk bruges sommetider også om talteori .
Prioriteringsrækkefølge Først demonstreres, hvorledes simple ligningssystemer løses. Man skal ALTID gøre det samme på begge sider af lighedstegnet:
Addition/subtraktion
Multiplikation/division
Husk at holde styr på fortegnene.
Husk altid at benytte sig af parenteser, når ligninger løses ved division/multiplikation på begge sider af lighedstegnet:
Addition
x
−
2
=
−
3
⇔
x
−
2
+
2
=
−
3
+
2
⇔
{\displaystyle x-2=-3\quad \Leftrightarrow \quad x-2+2=-3+2\quad \Leftrightarrow }
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
Multiplikation
k
{\displaystyle k}
x
2
=
−
3
+
k
⇔
2
⋅
x
2
=
2
⋅
(
−
3
+
k
)
⇔
x
=
−
6
+
2
⋅
k
{\displaystyle {\frac {x}{2}}=-3+k\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {2\cdot x}{2}}=2\cdot (-3+k)\quad \Leftrightarrow \quad x=-6+2\cdot k}
Subtraktion
2
+
x
=
−
3
⇔
2
+
x
−
2
=
−
3
−
2
⇔
{\displaystyle 2+x=-3\quad \Leftrightarrow \quad 2+x-2=-3-2\quad \Leftrightarrow }
x
=
−
5
{\displaystyle x=-5}
Division
k
{\displaystyle k}
2
⋅
x
=
−
3
+
k
⇔
2
⋅
x
2
=
(
−
3
+
k
)
2
⇔
x
=
−
3
2
+
k
2
{\displaystyle 2\cdot x=-3+k\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {2\cdot x}{2}}={\frac {(-3+k)}{2}}\quad \Leftrightarrow \quad x={\frac {-3}{2}}+{\frac {k}{2}}}
Her vises vha. konstanter, hvordan regnereglerne skal benyttes korrekt:
3
(
(
x
−
2
)
2
−
3
)
=
8
x
2
{\displaystyle 3((x-2)^{2}-3)={\frac {8}{x^{2}}}}
De rigtige fremgangsmåder skal nu huskes,
Vi har to potenser, en ved
(
x
−
2
)
2
{\displaystyle (x-2)^{2}}
og
x
2
{\displaystyle x^{2}}
, hhv. den første skal ganges ud, mens den sidste ikke kan forkortes mere end allerede.
3
(
(
x
−
2
)
2
−
3
)
=
8
x
2
⇔
3
(
(
x
−
2
)
⋅
(
x
−
2
)
−
3
)
=
8
x
2
⇔
{\displaystyle 3((x-2)^{2}-3)={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow \quad 3((x-2)\cdot (x-2)-3)={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow \quad }
3
(
x
2
−
4
x
+
4
−
3
)
=
8
x
2
{\displaystyle 3(x^{2}-4x+4-3)={\frac {8}{x^{2}}}}
Anden, division/multiplikation Da ganges ind i parenteserne osv.
3
(
x
2
−
4
x
+
1
)
=
8
x
2
⇔
3
x
2
−
12
x
+
3
=
8
x
2
⇔
{\displaystyle 3(x^{2}-4x+1)={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow \quad 3x^{2}-12x+3={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow }
x
2
(
3
x
2
−
12
x
+
3
)
=
8
⇔
3
(
x
2
)
2
−
12
x
⋅
x
2
+
3
x
2
=
8
⇔
{\displaystyle x^{2}(3x^{2}-12x+3)=8\quad \Leftrightarrow \quad 3(x^{2})^{2}-12x\cdot x^{2}+3x^{2}=8\quad \Leftrightarrow }
3
x
4
−
12
x
3
+
3
x
2
=
8
⇔
x
4
−
4
x
3
+
x
2
=
8
3
{\displaystyle 3x^{4}-12x^{3}+3x^{2}=8\quad \Leftrightarrow \quad x^{4}-4x^{3}+x^{2}={\frac {8}{3}}}
Ovenstående to ligninger kan man selv vælge, hvilken der falder bedst i smag.
Se også
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{z}}=z^{\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c57d423876985169613a3f8e40aa3c8b0dd5df)
![{\displaystyle {\sqrt[{x}]{z}}^{y}=z^{\frac {y}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10a8d37bb83e78ad90e4384589f650a3e5ad467)
