Det gyldne snit

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Det gyldne snit (også kendt som det guddommelige forhold) er et forhold mellem to størrelser og det tal der fremkommer derved kaldes Phi, som er et irrationalt tal, som ofte dukker op i naturen og som har en lang række interessante egenskaber. Tallet betegnes inden for matematikken med det græske bogstav φ phi (ikke at forveksle med π pi).

Phis værdi er:

Phi har relation til fibonaccitalfølgen (1 1 2 3 5 8 13 21 osv.), fordi kvotienten af to naboelementer gradvist nærmer sig (konvergerer mod) tallet phi. Jo højere værdi, to naboelementer har, des mere nøjagtigt vil deres kvotient beskrive phi, og hvis naboelementernes værdi er 987 eller højere, vil unøjagtigheden være mindre end ±0,00001.

Phi anses af nogle^{[Kilde mangler]} for at være det smukkeste talforhold i verden. Modpolerne udgøres bl.a. af den amerikanske matematiker George Markowsky, som ikke mener at det gyldne snit kan anerkendes som specielt harmonisk, og af den tyske fysiker Peter Richter, som ved sin forskning i ulineære tilstande i naturen (fraktaler) igen og igen er stødt på netop phi.

Leonardo da Vinci forskede i tallet phi og forsøgte at påvise, at det gyldne snit ligger til grund for fx menneskets proportioner. Han lavede en version af den vitruvianske mand, Den menneskelige figurs proportioner (som nok er den mest berømte af Leonardo da Vincis tegninger) for at anskueliggøre sin hypotese.

Phi findes også i pentagrammet. Forholdet mellem længden af diagonalen og længden af siden i en regulær femkant er φ.

Indholdsfortegnelse 1 Phi i en tikant 2 Nogle definitioner af tallet phi 3 Se også 4 Eksterne henvisninger

[redigér] Phi i en tikant

Phi optræder også, når man beregner forholdet mellem sidelængden i en regulær tikant og radius i tikantens omskrevne cirkel. Formlen for denne udregning er:

Hvor r er cirklens radius, og s er tikantens sidelængde.

[redigér] Nogle definitioner af tallet phi

Den korteste definition på phi er, at phi i anden er lig med phi plus én.

Phi er et irrationalt tal der kan bestemmes som den positive løsning til ligningen:

φ² = φ + 1

eller

φⁿ = φ^{n − 1} + φ^{n − 2}

eller

eller

- her forholdet mellem Fibonaccitallene nummer 40 og 39

eller

hvilket giver løsningen:

Betragt et linjestykke som vi med et "snit" ønsker at dele i to mindre linjestykker, nemligt et stort med længde a og et lille med længde b. Snittet kaldes gyldent, hvis hele det oprindelig linjestykke forholder sig til den store del på samme måde, som den store forholder sig til den lille, altså

Hvis vi kalder dette fælles forhold for φ (altså φ=a/b) bliver dette til

hvilket er ækvivalent med den tidligere fremsatte ligning.

[redigér] Se også

Commons har billeder og/eller lyd med forbindelse til: Det gyldne snit

• Den gyldne ellipse
• Gyldent rektangel

[redigér] Eksterne henvisninger

• Alt om Phi
• The Golden Museum (engelsk og russisk)
• Peter H. Richters hjemmeside
• George Markowskys hjemmeside
• pentagrammet og phi