Det gyldne snit

Det gyldne snit (også kendt som det guddommelige forhold) er et forhold mellem to størrelser og det tal der fremkommer derved kaldes Phi, som er et irrationalt tal, som ofte dukker op i naturen og som har en lang række interessante egenskaber. Tallet betegnes inden for matematikken med det græske bogstav φ phi (ikke at forveksle med π pi).

Phis værdi er:

$\varphi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,61803398874989... \$

Det gyldne snit

Phi har relation til fibonaccitalfølgen (1 1 2 3 5 8 13 21 osv.), fordi kvotienten af to naboelementer gradvist nærmer sig (konvergerer mod) tallet phi. Jo højere værdi, to naboelementer har, des mere nøjagtigt vil deres kvotient beskrive phi, og hvis naboelementernes værdi er 987 eller højere, vil unøjagtigheden være mindre end ±0,00001.

Phi anses af nogle - f.eks. H.E. Huntley : The Divine Proportion - for at være det smukkeste talforhold i verden. Modpolerne udgøres bl.a. af den amerikanske matematiker George Markowsky, som ikke mener at det gyldne snit kan anerkendes som specielt harmonisk, og af den tyske fysiker Peter Richter, som ved sin forskning i ulineære tilstande i naturen (fraktaler) igen og igen er stødt på netop phi.

Den menneskelige figurs proportioner af Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci forskede i tallet phi og forsøgte at påvise, at det gyldne snit ligger til grund for fx menneskets proportioner. Han lavede en version af den vitruvianske mand, Den menneskelige figurs proportioner (som nok er den mest berømte af Leonardo da Vincis tegninger) for at anskueliggøre sin hypotese. Dette bliver dog trukket i tvivl.

Phi findes også i pentagrammet. Forholdet mellem længden af diagonalen og længden af siden i en regulær femkant er $\phi$.

Phi i en tikant

Phi optræder også, når man beregner forholdet mellem sidelængden i en regulær tikant og radius i tikantens omskrevne cirkel. Formlen for denne udregning er: $r = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} * s$

Hvor r er cirklens radius, og s er tikantens sidelængde.

Nogle definitioner af tallet phi

Den korteste definition på phi er, at phi i anden er lig med phi plus én.

Phi er et irrationalt tal der kan bestemmes som den positive løsning til ligningen:

$\phi^2 = \phi + 1$

eller

$\phi^n = \phi^{n-1} + \phi^{n-2}$

eller

$\varphi^3 = \frac{\varphi + 1}{\varphi - 1}$

eller

$\frac {102334155}{63245986} \approx \varphi$ - her forholdet mellem Fibonaccitallene nummer 40 og 39

eller

$\varphi^{-1} = \varphi - 1$

hvilket giver løsningen:

$\varphi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

Betragt et linjestykke som vi med et "snit" ønsker at dele i to mindre linjestykker, nemlig et stort med længde a og et lille med længde b. Snittet kaldes gyldent, hvis hele det oprindelig linjestykke forholder sig til den store del på samme måde, som den store forholder sig til den lille, altså

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$

Hvis vi kalder dette fælles forhold for φ (altså φ=a/b) bliver dette til

$1+\varphi^{-1} = \varphi$

hvilket er ækvivalent med den tidligere fremsatte ligning.

Se også

Wikimedia Commons har billeder og/eller lyd med forbindelse til: Det gyldne snit

• Den gyldne ellipse
• Gyldent rektangel

Eksterne henvisninger

• Alt om Phi
• The Golden Museum (engelsk og russisk)
• Peter H. Richters hjemmeside
• Det Gyldne Snit
• pentagrammet og phi