Fysisk pendul

I et fysisk pendul er massen fordelt på hele det svingende legeme. I afstanden $L$ fra omdrejningsaksen (origo) ligger massemidtpunktet.

Det fysiske pendul er en fysisk beregningsmodel, som i modsætning til det matematiske pendul kan bruges på alle penduler, der foretager små udsving. Et fysisk pendul er et legeme med massen $m$, og med inertimomentet $I$ omkring den akse, pendulet kan dreje omkring. Hvis afstanden mellem omdrejningsaksen og legemets massemidtpunkt er $L$, kan svingningstiden $T$ beregnes approksimativt som:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{gmL}}}$

hvor $g$ er den lokale tyngdeacceleration, som er ca. 9,8 m/s² de fleste steder på Jordens overflade.

Resultatet er en tilnærmelse, fordi formlen bygger på, at vinklen er lille:

$\sin \theta \approx \theta$

Til visse penduler kan man bruge en simplere beregningsmodel, det såkaldte matematiske pendul, som involverer hverken massen eller inertimomentet.

Udledning

Hvert infinitesimale punkt på pendulet bliver påvirket af samme tyngdekraft $\mathrm {d} {\vec {F}}$ givet ved:

$\mathrm {d} {\vec {F}}=-g\mathrm {d} m{\hat {z}}$

hvor $\mathrm {d} m$ er den infinitesimale masse, mens $-{\hat {z}}$ angiver, at tyngekraften peger nedad. Kraftmomentet er da $\mathrm {d} {\vec {\tau }}$

$\mathrm {d} {\vec {\tau }}={\vec {r}}\times \mathrm {d} {\vec {F}}=-g{\vec {r}}\mathrm {d} m\times {\hat {z}}$

hvor ${\vec {r}}$ er afstandsvektoren til origo. Ved integration findes det samlede kraftmoment på hele legemet:

${\vec {\tau }}=\int \mathrm {d} {\vec {\tau }}=-g\int {\vec {r}}\mathrm {d} m\times {\hat {z}}$

Massemidtpunktet ${\vec {L}}$ er givet ved:

${\vec {L}}={\frac {1}{m}}\int {\vec {r}}\mathrm {d} m$

Dette indsættes i stedet for integralet:

${\vec {\tau }}=-gm{\vec {L}}\times {\hat {z}}$

Krydsproduktets størrelse er blot størrelsen på ${\vec {L}}$ - dvs. massemidtpunktets afstand til origo - gange sinus til vinklen i forhold til lodret. Størrelsen på kraftmomentet er derfor:

$\tau =-gmL\sin \theta$

Kraftmomentet er relateret til vinkelaccelerationen ${\ddot {\theta }}$ ved

$\tau =I{\ddot {\theta }}$

hvor $I$ er inertimomentet, der afhænger af legemets præcise form. Vinkelaccelerationen er altså:

${\ddot {\theta }}=-{\frac {gmL}{I}}\sin \theta$

For den lille vinkel reducer sinusfunktionen til bare at være vinklen:

${\ddot {\theta }}=-{\frac {gmL}{I}}\theta$

Løsningen til denne differentialligning kan udover en evt. fase generelt skrives som:

$\theta (t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$

hvor $t$ er tiden, $A$ og $B$ er konstanter, og $\omega$ er vinkelfrekvensen givet ved:

$\omega ={\sqrt {\frac {gmL}{I}}}$

Dermed opnås en periode på:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{gmL}}}$

Hvis al masse er i massemidtpunktet, forsimples dette udtryk og bliver identisk med det matematiske pendul.

Eksempler

Det følgende er eksempler med forskellige inertimomenter.

Matematisk pendul

Uddybende artikel: Matematisk pendul

Hvis loddet er en punktmasse, der hænger i en masseløs snor, er $L$ blot snorens længde, mens intertimomentet er givet ved:

$I=mL^{2}$

Differentialligningen bliver derfor ${\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{L}}\sin \theta$ med den approksimative periode

$T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$

Som forventet er det matematiske pendul altså et specialetilfælde af det fysiske pendul.

Tynd stang

Det svingende legeme er nu én lang stang, der er så tynd, at dens diameter kan ignoreres. Hvis massen er fordelt ligeligt med konstant massedensitet $\rho$ - masse pr. længde - og stangens længde er $d$, bliver afstanden til massemidtpunktet:

${\vec {L}}={\frac {\rho }{m}}\int _{0}^{d}r\mathrm {d} r={\frac {\rho }{m}}{\frac {1}{2}}d^{2}$

Her er det brugt, at:

$\mathrm {d} m=\rho \mathrm {d} r$

Siden

$\rho ={\frac {m}{d}}$

kan afstanden til massemidtpunktet skrives som:

${\vec {L}}={\frac {m}{md}}{\frac {1}{2}}d^{2}={\frac {d}{2}}$

Dvs. at massemidtpunktet er midt på stangen, hvilket er forventeligt. Inertimomentet er tilsvarende:

$I=\rho \int _{0}^{d}r^{2}\mathrm {d} r={\frac {\rho }{3}}d^{3}={\frac {m}{3}}d^{2}$

Dermed bliver perioden:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {{\frac {m}{3}}d^{2}}{gm{\frac {d}{2}}}}}=2\pi {\sqrt {\frac {2d}{3g}}}$

I forhold til det matematiske pendul er perioden for et stangpendul altså en smule kortere med en faktor ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$.