Fysisk pendul

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
I et fysisk pendul er massen fordelt på hele det svingende legeme. I afstanden fra omdrejningsaksen (origo) ligger massemidtpunktet.

Det fysiske pendul er en fysisk beregningsmodel, som i modsætning til det matematiske pendul kan bruges på alle penduler, der foretager små udsving. Et fysisk pendul er et legeme med massen , og med inertimomentet omkring den akse, pendulet kan dreje omkring. Hvis afstanden mellem omdrejningsaksen og legemets massemidtpunkt er , kan svingningstiden beregnes approksimativt som:

hvor er den lokale tyngdeacceleration, som er ca. 9,8 m/s² de fleste steder på Jordens overflade.

Resultatet er en tilnærmelse, fordi formlen bygger på, at vinklen er lille:[1]

Til visse penduler kan man bruge en simplere beregningsmodel, det såkaldte matematiske pendul, som involverer hverken massen eller inertimomentet.

Udledning[redigér | redigér wikikode]

Hvert infinitesimale punkt på pendulet bliver påvirket af samme tyngdekraft givet ved:

hvor er den infinitesimale masse, mens angiver, at tyngekraften peger nedad. Kraftmomentet er da

hvor er afstandsvektoren til origo. Ved integration findes det samlede kraftmoment på hele legemet:

Massemidtpunktet er givet ved:

Dette indsættes i stedet for integralet:

Krydsproduktets størrelse er blot størrelsen på - dvs. massemidtpunktets afstand til origo - gange sinus til vinklen i forhold til lodret. Størrelsen på kraftmomentet er derfor:

Kraftmomentet er relateret til vinkelaccelerationen ved

hvor er inertimomentet, der afhænger af legemets præcise form. Vinkelaccelerationen er altså:

For den lille vinkel reducer sinusfunktionen til bare at være vinklen:

Løsningen til denne differentialligning kan udover en evt. fase generelt skrives som:

hvor er tiden, og er konstanter, og er vinkelfrekvensen givet ved:

Dermed opnås en periode på:[1]

Hvis al masse er i massemidtpunktet, forsimples dette udtryk og bliver identisk med det matematiske pendul.

Eksempler[redigér | redigér wikikode]

Det følgende er eksempler med forskellige inertimomenter.

Matematisk pendul[redigér | redigér wikikode]

Uddybende Uddybende artikel: Matematisk pendul

Hvis loddet er en punktmasse, der hænger i en masseløs snor, er blot snorens længde, mens intertimomentet er givet ved:

Differentialligningen bliver derfor med den approksimative periode

Som forventet er det matematiske pendul altså et specialetilfælde af det fysiske pendul.

Tynd stang[redigér | redigér wikikode]

Det svingende legeme er nu én lang stang, der er så tynd, at dens diameter kan ignoreres. Hvis massen er fordelt ligeligt med konstant massedensitet - masse pr. længde - og stangens længde er , bliver afstanden til massemidtpunktet:

Her er det brugt, at:

Siden

kan afstanden til massemidtpunktet skrives som:

Dvs. at massemidtpunktet er midt på stangen, hvilket er forventeligt. Inertimomentet er tilsvarende:

Dermed bliver perioden:

I forhold til det matematiske pendul er perioden for et stangpendul altså en smule kortere med en faktor .

Kildehenvisninger[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ a b Nave, Carl Rod. "Physical Pendulum" (engelsk). Georgia State University. Arkiveret fra originalen 28. april 2020. Hentet 31. marts 2020.