Hilbertrum

Det matematiske begreb Hilbertrum, som er opkaldt efter den tyske matematiker David Hilbert, er en generalisering af euklidisk rum på en måde, der udvider de vektoralgebraiske metoder fra den todimensionale plan eller det tredimensionale rum til uendeligtdimensionale rum. Mere formelt er et Hilbertrum et indre produkt-rum – et abstrakt vektorrum i hvilket det har mening at måle afstande og vinkler – som også er "fuldstændigt", hvilket vil sige, at hvis en følge af vektorer går mod en grænse, er det garanteret, at grænseværdien også ligger i rummet.

Hilbertrum optræder naturligt og ofte i både matematik, fysik og ingeniørvidenskab; typisk som uendeligtdimensionale funktionsrum – rum hvor elementerne er funktioner. De er uundværlige værktøjer i teorierne om partielle differentialligninger, kvantemekanik og signalbehandling. Opdagelsen af de fælles algebraiske strukturer i disse forskellige områder gav anledning til en større konceptuel forståelse, og de tilknyttede metoders succes var særdeles udbytterigt for funktionalanalysen.

Geometrisk intuition spiller en vigtig rolle i mange aspekter af Hilbertrumteori. Et element i et Hilbertrum er entydigt givet ved dets koordinater med hensyn til en ortonormalbasis, i analogi med kartesiske koordinater i planen. Dette betyder, at Hilbertrummet også med fordel kan betragtes som uendelige følger, der er kvadratisk summable. Lineære operatorer på et Hilbertrum er ligeledes forholdsvis konkrete objekter: I pæne tilfælde er de blot transformationer, der strækker rummet med forskellige faktorer i vinkelrette retninger.