Kompakt lineær operator

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

I funktionalanalysen, en gren af matematikken, betegner en kompakt lineær operator en lineær afbildning mellem to Bachachrum X og Y, som opfylder, at billedet af enhver begrænset følge i X har en konvergent delfølge i Y. Mængden af kompakte lineære operatorer er et afsluttet lineært delrum af mængden af begrænsede lineære operatorer. På Hilbertrum er enhver kompakt lineær operator grænseværdien af en følge af lineære operatorer med billedmængde af endelig dimension.

Klassen af kompakte lineære operatorer på Hilbertrum ligner på mange måder klassen af lineær afbildninger mellem endelig dimensionale vektorrum. For eksempel kan mange resultater om spektrum af matricer generaliseres til kompakte operatorer på Hilbertrum. Studiet af kompakte operatorer har rødder og mange anvendelser i integrallignings-teorien.

Definition[redigér | redigér wikikode]

Lad og være Banachrum og en lineær afbildning. Operatoren kaldes kompakt, hvis der for enhver begrænset følge i gælder, at billedfølgen har en konvergent delfølge i . Vi betegner mængden af alle kompakte operatorer fra til med . Hvis , skriver man kort .

For alternative definitioner se afsnittet egenskaber.

Eksempler[redigér | redigér wikikode]

  • Enhver lineær afbildning mellem Banachrum med billedmængde af endelig dimension er kompakt. Dette følger af kompakheden af afsluttede kugler i endelig dimensionale Banachrum.
  • Det følger af Riesz' Lemma at identitetsoperatoren på et Banachrum er kompakt, hvis og kun hvis er endelig dimensionalt.
  • Lad være et Hilbertrum med ortonormalbasis og lad være en begrænset følge af komplekse tal. Vi definerer og udvider ved linearitet og kontinuitet til en lineær operator på , det vil sige, vi definerer
.
Denne operator hedder diagonaloperatoren med diagonal . Operatoren er kompakt, hvis og kun hvis der for diagonalen gælder, at . [1] Dette kan indses ved at vise, at er grænseværdien (med hensyn til operatornormen) af diagonaloperatorerne , hvor har diagonal .
  • Enhver Hilbert-Schmidt-operator på Hilbertrum er kompakt. er en Hilbert-Schmidt-operator, hvis der gælder for en ortonormalbasis . [1]
  • Lad være et målrum og lad . Så er operatoren defineret for ved
for alle
en Hilbert-Schmidt-operator og derfor kompakt.[1]
  • Det følger af ovenstående at Volterra-operatoren er kompakt. For er denne operator defineret ved
for alle .
  • Operatoren unilateral shift defineret som for alle basisvektorer er ikke kompakt. Dette gælder, fordi følgen ikke har nogen konvergent delfølge.
  • Hvis og er defineret ved for alle , så er kompakt. Mere generelt er nukleare operatorer på Hilbertrum kompakte.[2]

Egenskaber[redigér | redigér wikikode]

Ækvivalente definitioner[redigér | redigér wikikode]

Der findes en række egenskaber, der er ækvivalente med definitionen af en kompakt operator og som let kan indses ved hjælp af grundlæggende egenskaber af Banachrum. Der findes eksempelvis følgende karakteriseringer, der tydeliggør navnet kompakt operator:

Lad være en lineær afbildning mellem to Banachrum. So er en kompakt operator, hvis og kun hvis følgende ækvivalente udsagn gælder:

  • For enhver begrænset mængde har en kompakt afslutning.
  • Billedet af enhedskuglen i har en kompakt afslutning.

Egenskaber for Banachrum[redigér | redigér wikikode]

I det følgende antager vi, at og er -Banachrum.

  • Det følger umiddelbart af definitionen, at enhver kompakt lineær operator er begrænset, vi har altså , hvor betegner mængden af alle begrænsede lineære operatorer fra til .
  • Da begrænsethed og kontinuitet er ækvivalente for lineære afbildninger, er enhver kompakt lineær operator også kontinuert.
  • Mængden af alle kompakte lineære operatorer er et afsluttet lineært delrum af mængden af alle begrænsede lineære operatorer. Det vil sige, at følgende gælder:
    • Givet operatorer og et tal , så gælder der, at og også er kompakte operatorer.
    • Hvis er en følge i , som konvergerer mod en operator , så er også kompakt.
  • En operator, der er sammensat af en kompakt og en begrænset operator er kompakt. Det vil sige det følgende:
    • Hvis og , så er .
    • Hvis og , så er .
I tilfældet hvor betyder dette, at er et to-sidet ideal i .
  • Det følgende resultat er kendt som Schauders Sætning[3]:
Hvis , så er kompakt, hvis og kun hvis den adjungerede operator er kompakt.
  • I modsætning til Hilbertrum, gælder der for Banachrum generelt ikke, at er afslutningen (med hensyn til operatornormen) af mængden af operatorer med billedmængde af endelig dimension. Dette blev vist af Per Enflo i 1987. Det gælder dog for en speciel klasse af Banachrum, nemlig for Banachrum som har en Schauder-basis. Man siger, at disse Banachrum har approksimationsegenskaben. Et eksempel på et Banachrum med approksimationsegenskaben, som ikke nødvendigvis er et Hilbertrum er mængden , som består af alle kontinuerte funktioner på et kompakt Hausdorffrum . [3]

Egenskaber for Hilbertrum[redigér | redigér wikikode]

Et vigtigt resultat for kompakte operatorer mellem Hilbertrum er det følgende. Lad og være -Hilbertrum. Mængden af kompakte lineære operatorer er afslutningen af mængden af lineære operatorer med billedmængde af endelig dimension. Følgelig er enhver kompakt lineær operator grænseværdien af en følge af operatorer med billedmængde af endelig dimension. Vi har altså følgende: .[2] Dette er en følge af Spektralsætning for kompakte lineære operatorer. Der er mange andre vigtige resultater for Hilbertrum, som omhandler spektrum af en kompakt lineær operator (se næste afsnit).

Spektralteori for kompakte lineære operatorer[redigér | redigér wikikode]

Resultater om spektrum[redigér | redigér wikikode]

Ligesom for lineære afbildninger på et endelig dimensionalt vektorrum (som kan identificeres med kvadratiske matricer) kan man definere egenværdier for lineære begrænsede operatorer på et Banachrum. Et tal hedder altså egenværdi for en operator , hvis , hvor betegner identitetsoperatoren. For alle ikke-trivielle egenværdier, det vil sige , defineres det tilsvarende egenrum som og en vektor hedder egenvektor for . Yderligere defineres spektrum af som . Denne mængde består for begrænsede linære operatorer i modsætning til matricer ikke altid kun af egenværdierne, men for kompakte operatorer er dette tilfældet.

Vigtige resultater vedrørende egenværdier af kompakte lineære operatorer på et Banachrum er:

  • Enhver kompakt lineær operator har højst et endeligt eller uendeligt tælleligt antal egenværdier. Hvis der er uendeligt mange egenværdier , så gælder der og alle egenrum for ikke-trivielle egenværdier er endelig dimensionale.[2]
  • Der findes kompakte lineære operatorer, der ikke har nogen ikke-trivielle egenværdier. Et eksempel er Volterra-operatoren.[3]
  • Det følgende vigtige resultat er kendt som Fredholms Alternativ[1] :
Lad og . Så gælder der
  1. Hvis er injektiv, så er invertibel.
  2. Hvis er surjektiv, så er invertibel.
Hvis man tænker på ovenstående resultat som et udsagn om ligninger af formen for givet , så kan man formulerer (1.) og (2.) på en anden måde:
  1. Hvis en løsning til er unik, så findes en løsning til denne ligning.
  2. Hvis der findes en løsning til for alle , så er disse unikke.
  • Det følger af Fredholms Alternativ, at , det vil sige, spektrum af en kompakt lineær operator består kun af egenværdierne.
  • For en kompakt selvadjungeret lineær operator på et Hilbertrum gælder . Yderligere er eller en egenværdi af .[2] I modsætning til generelle kompakte operatorer har vi altså en garanti for eksistensen af ikke-trivielle egenværdier for selvadjungerede kompakte lineære operatorer.
  • For normale kompakte lineære operatorer på Hilbertrum kan man let indse, at egenvektorer for forskellige egenværdier er ortogonale.[2]

Spektralsætningen for selvadjungerede kompakte lineære operatorer[redigér | redigér wikikode]

Et vigtigt resultat for kompakte lineære operatorer på Hilbertrum er Spektralsætningen for selvadjungerede kompakte operatorer:[2]

Lad være et -Hilbertrum og selvadjungeret, det vil sige der gælder . Der findes en (muligvis endelig) følge i med og et (muligvis endeligt) ortogonalsystem af , så at der gælder
for alle .
Yderligere gælder der for operatornormen af , at .
Ovenstående sum konvergerer med hensyn til operatornormen. Her betegner det indre produkt på . Følgen består af alle ikke-trivielle egenværdier af og er en egenvektor for for alle .

Spektralsætningen for normale kompakte lineære operatorer[redigér | redigér wikikode]

Ovenstående sætning for selvadjungerede kompakte operatorer kan generaliseres til normale operatorer, det vil sige operatorer, der opfylder .[2]

Spektralsætningen for generelle kompakte lineære operatorer[redigér | redigér wikikode]

Man kan endelig bevise en generel version af spektralsætningen for en vilkårlig kompakt lineær operator på et Hilbertrum. Herfor viser man først de følgende to vigtige resultater ved hjælp af Spektralsætningen for normale operatorer:

  • For enhver kompakt operator findes der en unik positiv selvadjungeret operator så at . Man skriver .
  • Der findes yderligere en unik partiel isometri så at og . Denne præsentation kaldes polarformen af .

Man opnår hermed den følgende vigtige sætning:

Spektralsætningen for generelle kompakte lineære operatorer[2]
Lad være -Hilbertrum og . Der findes en (muligvis endelig) følge i med og (muligvis endelige) ortogonalsystemer af og af så at der gælder
for alle .
Her betegner det indre produkt på . Ovenstående sum konvergerer med hensyn til operatornormen. Følgen består af alle ikke-trivielle egenværdier af .

Anvendelser[redigér | redigér wikikode]

Spektralteorien for kompakte lineære operator kan bruges til at bestemme løsninger til integralligninger, for eksempel ligninger af formen

for .

Lad for næsten alle og lad med og . Så svarer ovenstående integralligning til . Denne slags integralligning kaldes Fredholmske integralligninger. Da er en selvadjungeret kompakt operator, kan man ved hjælp af Spektralsætningen bestemme en løsning (afhængig af egenværdierne og egenvektorerne).[2]

Referencer[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ a b c d MacCluer, Barbara (2009). Elementary functional analysis. pp. 82, 86-87, 100-101. ISBN 978-0-387-85528-8. 
  2. ^ a b c d e f g h i Werner, Dirk (2011). Funktionalanalysis. Springer Verlag. s. 269-277, 286-287. ISBN 978-3-642-21016-7. 
  3. ^ a b c Conway, John B. (1997). A course in functional analysis (Second udg.). Springer Verlag. pp. 174,175-176. ISBN 3-540-97245-5.