Kvadratkomplettering

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Kvadratkomplettering er en teknik i algebra, hvis grundlæggende formål er at reducere en variabel med et polynomium af anden grad i en ligning eller i et matematisk udtryk, så der fremkommer et lineært polynomisk udtryk i anden potens. Derved gøres det i mange sammenhænge lettere at løse ligningen.

Oversigt[redigér | rediger kildetekst]

Ved kvadratkomplettering transformeres et andengradspolynomiom altså til et kvaderet lineært polynomiun og en konstant. Det betyder, at et polynomium af formen

ændres til et af formen

Det bemærkes, at koefficienterne a, b, c, d og e ovenfor selv kan være matematiske udtryk og indeholde andre variable end x.

Den vigtigste anvendelse af kvadratkomplettering er at finde løsningerne til andengradsligningen.

Almindelig formel[redigér | rediger kildetekst]

For

har vi

Eller

Eksempler[redigér | rediger kildetekst]

Eksempel 1[redigér | rediger kildetekst]

Et meget simpelt eksempel er:

Eksempel 2[redigér | rediger kildetekst]

Et andet simpelt eksempel er at finde rødderne af:

* kvadratkompletteringen

Eksempel 3[redigér | rediger kildetekst]

Betragt problemer med at finde følgende integral:

.

Det kan gøres ved hjælp af kvadratkomplettering af nævneren. Nævneren er

.

Når kvadratet kompletteres ved at lægge (10/2)² = 25 til x² – 10x fås det perfekte kvadrat x² – 10x + 25 = (x – 5)². Derfor fås:

.

Hvorfor integralet er

.

Eksempel 4[redigér | rediger kildetekst]

Som en generalisering af eksempel 2, kan rødderne af:

,

findes ved at omforme ligningen, så "x" og "x i anden" ikke længere optræder. For at opnå dette, kompletteres kvadratet: tag halvdelen af koefficienten til "x", kvadrer den, og læg den til på begge sider af lighedstegnet, således:

* kvadratkomplettering

Eksempel 5 (den generelle andengradsligning)[redigér | rediger kildetekst]

Eksempel 4 kan generaliseres yderligere til at finde løsningerne til den generelle andengradsligning

idet der først foretages kvadratkomplettering således:

.

hvoraf

Komplekse versioner af kvadratkomplettering[redigér | rediger kildetekst]

Betragt udtrykket

hvor og er komplekse tal, og er de komplexe conjugationer af henholdsvis og , og er et reelt tal. Dette kan udtrykkes på denne måde:

som klart er en virkelig mængde. Det er fordi

Ligeledes kan udtrykket

hvor , , , og er reelle tal og samt , udtrykkes ved kvadratet af den absolutte værdi af et komplekst tal. Defineres

hvorfor

Se også[redigér | rediger kildetekst]