Midtnormal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Midtnormalerne for trekantens sider mødes i centrum for den omskrevne cirkel

Et linjestykkes midtnormal er den rette linje, som står vinkelret på linjestykket og går gennem dettes midtpunkt. Den er det geometriske sted for alle de punkter, der hver især ligger lige så langt fra linjestykkets ene endepunkt som fra det andet.

Midtnormalen konstrueres ved i hvert af linjestykkets endepunkter at tegne en cirkel med en radius, der er lidt større end halvdelen af liniestykket. Forbindes cirklernes skæringspunkter fås midtnormalen.

Tegner man midtnormalerne for hver af en trekants sider, vil de derfor gå gennem samme punkt: den omskrevne cirkels centrum.

I en trekant, hvor topvinklerne A, B og C samt disses modstående sider a, b og c kendes, kan midtnormalen gennem a's midtpunkt D, bestemmes således:

Tmlgwbxoeo(1).png

Først defineres forholdstallet:

.

Lader vi dernæst toppunkterne være givet ved:

,

og

,

kan D's koordinater bestemmes sådan:

,

mens siden a's parametriske ligning er givet ved:

.

Med definitionen af b1 og b2 har vi også en kartesisk ligning for a's midtnormal:

.

Siden b og dennes midtnormal er givet ved henholdsvis:

og

,

og vi kan nu indsætte b's midtnormals ligning i a's med henblik på at bestemme skæringspunktet,

dvs. den omskrevne cirkels centrum ( s1 ; s2 ):

.

.

Til sidst bestemmes cirklens ligning med alt, hvad dertil hører:

,

,

,

.

Bemærk, at enhver af de såkaldte sinusrelationer er lig med 2R, samt at siden c og dennes midtnormal ikke er defineret her, da vi blot behøver 2 sider med tilhørende midtnormaler, for at bestemme cirklens centrum.

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]

Program til beregning af midtnormaler og omskrevne cirkler