Nilpotent matrix

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

I matematikken og i særdeleshed i lineær algebra er en nilpotent matrix en n×n kvadratisk matrix M, hvor

for et naturligt tal q, hvor 0 betegner nulmatricen. På samme måde er en nilpotent transformation en lineær transformation L med for et naturligt tal q.

Der er specielle tilfælde af et mere generelt nilpotensbegreb, der ikke kun gælder for matricer og lineære transformationer men for alle elementer i ringe.

Eksempler[redigér | redigér wikikode]

Betragt matricen

Den er et eksempel på en 4×4 nilpotent matrix. Bemærk ikke-nul-indgangene i superdiagonalen. Den karakteristiske egenskab ved denne matrix fremstår af potensopløftningen, idet

Superdiagonalen 'rykker en tak op', indtil man til sidst opnår nulmatricen.

Den tilhørende nilpotente transformation L : R4R4 er defineret ved:

Egenskaber[redigér | redigér wikikode]

Lad M være en n×n nilpotent matrix.

Klassifikationssætning[redigér | redigér wikikode]

Ovenstående eksempel er typisk, som det følgende resultat viser. Enhver nilpotent er kongruent til en blokdiagonalmatrix

hvor blokkene har ettaller på superdiagonalen og nultaller alle andre steder: