Røringscirkler

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

I geometrien er røringscirkler de cirkler som enten tangerer alle en trekants sider eller en af disse sider samt de to øvriges forlængelser. Alle trekanter har 4 røringscirkler: Én indskreven cirkel, som tangerer samtlige trekantens sider og 3 såkaldte ydre røringscirkler.[1]

Den indskrevne cirkel[redigér | redigér wikikode]

Den indskrevne cirkel har sit centrum, hvor trekantens tre vinkelhalveringslinjer skærer hinanden.[2]

Den indskrevne cirkels radius kan beregnes vha. formlen:

,

hvor er trekantens sidelængder, mens er halvdelen af trekantens omkreds.[3]

De ydre røringscirkler[redigér | redigér wikikode]

Figur 1. En trekant med dens 4 røringscirkler: Den indskrevne cirkel er blå, og de 3 ydre røringscirkler er gule. Cirklernes centre (I, JA,JB,JC) er også markeret.

De ydre (gule) røringscirklers centre findes, hvor de (grønne) linjer, der halverer trekantsvinklernes nabovinkler, skærer hinanden. Jævnfør figur 1, af hvilken det ses, at hver af trekantens (røde) vinkelhalveringslinjer ligeledes går gennem en ydre røringscirkels centrum.[4]

De ydre røringscirklers radiusser kan beregnes med formlen

hvor er radius i den ydre røringscirkel, som rører siden a, og er trekantens sidelængder, mens er halvdelen af trekantens omkreds.[5].


Radius kan også beregnes ud fra kendskab til trekantens vinkler og én side:

[6].

Andre formler[redigér | redigér wikikode]

Der gælder følgende sammenhæng mellem den indskrevne cirkels radius r, den omskrevne cirkels radius R og de 3 ydre røringscirklers radiusser:

[7].

Der er denne sammenhæng mellem røringscirklernes radiusser og trekantens areal :

[8].

Referencer[redigér | redigér wikikode]

Bogen der henvises til i note 1-8:

  • Carstensen, Jens (1994). Trigonometri. systime. 
  1. ^ Carstensen 1994, s. 50
  2. ^ Carstensen 1994, s. 46
  3. ^ Carstensen 1994, s. 49
  4. ^ Carstensen 1994, s. 50. Citat: "Centrum for den ydre røringscirkel, der tangerer siden c og forlængelserne af siderne a og b er fælles skæringspunkt mellem vinkelhalveringslinien for C og vinkelhalveringslinierne for nabovinklerne til A og B."
  5. ^ Carstensen 1994, s. 51
  6. ^ Carstensen 1994, s. 52
  7. ^ Carstensen 1994, s. 54
  8. ^ Carstensen 1994, s. 53

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]