Trigonometrisk funktion

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

En trigonometrisk funktion er en matematisk funktion som i den elementære matematik defineres ved hjælp af retvinklede trekanter. Ved hjælp af funktionen kan man direkte "omregne" en vinkel fra en trekant, til forholdet (kvotienten) mellem to sider i trekanten. De grundliggende trigonometriske funktioner er sinus og cosinus, mens de øvrige er dannet ud fra disse.

Sinus og cosinus[redigér | redigér wikikode]

Uddybende Uddybende artikel: Sinus (matematik)
Uddybende Uddybende artikel: Cosinus
Figur 1: Enhedscirkel
Retvinklet trekant placeret i enhedscirklen
  • Sinus:
  • Cosinus:

Sinus og cosinus kan defineres med brug af en enhedscirkel som er en cirkel i et retvinklet koordinatsystem med centrum i (0,0) og radius 1 (figur 1). cos t og sin t er de funktioner som opfylder at en halvlinje med start i (0,0) med vinklen t i forhold til den positive del af førsteaksen vil skære enhedscirklen i punktet (cos t, sin t). Heraf følger at cos og sin er periodiske funktioner med perioden 2π eller 360° da halvlinjen har samme placering hver gang den har gennemløbet enhedscirklen.

Hvis man placerer en trekant i koordinatsystemet med hjørnerne på punkterne (0,0), (cos t, sin t) og (cos t, 0), ses det at trekanten må være retvinklet med en hypotenuse på 1 (figur 2). Ud fra denne trekant kan udlede at det generelt gælder for retvinklede trekanter at:

  • Sinus til en af de spidse vinkler er lig forholdet mellem vinklens modstående katete og hypotenusen
  • Cosinus til en af de spidse vinkler er lig forholdet mellem vinklens hosliggende katete og hypotenusen

Tangens og cotangens[redigér | redigér wikikode]

Uddybende Uddybende artikel: Tangens
  • Tangens:
  • Cotangens:

Tangens er defineret som , mens cotangens er .

Tangens og cotangens er periodiske med perioden π eller 180°.

For retvinklede trekanter gælder:

  • Tangens til en af de spidse vinkler er lig med forholdet mellem vinklens modstående katete og dens hosliggende katete.
  • Cotangens til en af de spidse vinkler er lig med forholdet mellem vinklens hosliggende katete og dens modstående katete.

Sekans og cosekans[redigér | redigér wikikode]

  • Sekans:
  • Cosekans:

Sekans og cosekans er de reciprokke funktioner til henholdsvis cosinus og sinus:

og .

For retvinklede trekanter gælder:

  • Sekans til en af de spidse vinkler er lig med forholdet mellem hypotenusen og vinklens hosliggende katete.
  • Cosekans til en af de spidse vinkler er lig med forholdet mellem hypotenusen og vinklens modstående katete.

Disse to funktioner bruges stort set ikke i dansksprogede områder, hvor man i stedet bruger regneudtryk med cosinus og sinus.

Navnenes betydning[redigér | redigér wikikode]

Navnene kommer parvis med eller uden præfikset co-. Co- står for komplementær. To vinkler der sammenlagt giver en ret vinkel, kaldes for komplementære vinkler, således er de to spidse vinkler i en retvinklet trekant er altid komplementære. "Co-"-udgaven af en trigonometrisk funktion giver samme funktionsværdi for en vinkel, som udgaven uden "co-" giver for den komplementære vinkel.

Omvendte funktioner[redigér | redigér wikikode]

Hvis man begrænser de trigonometriske funktioners definitionsmængder så de bliver injektive, kan man danne omvendte funktioner. De omvendte funktioner kaldes arcus-funktioner, og deres symboler laves ved at tilføje præfikset arc-: arcsin, arccos, arctan osv.

Grafisk afbildninger[redigér | redigér wikikode]

Nedenfor vises graferne for sinus, cosinus og tangens. X-aksernes værdi udtrykker vinklens størrelse i radianer i forhold til pi, samt den tilsvarende værdi i grader.

Sin proportional.svg Cos proportional.svg Tan proportional.svg

Se også[redigér | redigér wikikode]