Hyperbolske funktioner

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
En ret linje gennem origo skærer hyperbelen i et punkt som giver de to hyperbolske funktioner cosha og sinha hvor a/2 er det røde arael.

Hyperbolske funktionner er matematiske funktioner af en variabel. De er analoge til de mere kendte trigonometriske funktioner som er forbundet med en cirkels egenskaber. På samme måde er de hyperbolske funktioner forbundet med en en hyperbels egenskaber. De vigtigste hyperbolske funktioner er sinh (hyperbolsk sinus), cosh (hyberbolsk cosinus) og tanh (hyperbolsk tangens).

De blev først studeret af den schweiziske matematiker Leonhard Euler før år 1750. Men deres geometriske indhold og matematiske betydning blev klarlagt omkring ti år senere af den italienske matematiker Vincenzo Riccati og hans samtidige Johann Heinrich Lambert. Den sidstnævte har også givet funktionerne de navne som stadig bruges i dag. Han kom frem til dem i forbindelse med sine undersøgelser af det som i dag kaldes hyperbolsk geometri.

De trigonometriske funktioner sin og cos kan benyttes til at parametrisere en cirkel. I et kartesisk koordinatsystem er enhedscirklen med centrum i origo og radius 1 beskrevet ved ligningen x2 + y2 = 1. Ved at skrive x = cosα og y = sinα hvor vinkelen α  angiver et punkt på cirkelen målt fra x - aksen, følger den fundamentale sammenhæng cos2α + sin2α = 1.

I samme koordinatsystem er enhedshyperblen beskrevet ved ligningen x2 - y2 = 1. De to vigtigste hyperbolske funktioner kan nu defineres ved parametriseringen x = cosha og y = sinha hvor den variable a kaldes den hyperbolske vinkel. Den kan identifiseres med arealet som er begrænset af hyperbelen vist i figuren. Indsat vil disse to funktioner derfor opfylde den fundamentale ligning cosh2a - sinh2a = 1. I modsætning til de trigonometriske funktioner, kan disse to hyperbolske funktioner derfor antage vilkårligt store værdier. Den tredje hyperbolske funktion er defineret som tanha = sinha/cosha og antager værdier som altid ligger mellem ±1. Ligesådan kan man definere cotha = 1/tanha som kan antage vilkårlige værdier.

Definitioner[redigér | redigér wikikode]

Hyperbolsk cosinus (blå), hyperbolsk sinus (rød) og hyperbolsk tangens (grøn).

Funktionernes geometriske indhold som følger fra egenskaber ved hyperbelen, kan videre benyttes til at vise at de kan eksplicit udtrykkes ved den naturlige eksponentialfunktion. Kaldes argumentet nu for x, finder man at

  • Hyperbolsk cosinus:
  • Hyperbolsk sinus:
  • Hyperbolsk tangens:

Dette kan også bruges som definitionerne af disse tre funktioner. Endvidere definerer man sædvanligvis også følgende funktioner

  • Hyperbolsk cotangens:
  • Hyperbolsk secans:
  • Hyperbolsk cosecans:

Algebraiske identiteter[redigér | redigér wikikode]

Fra definitionene kan man nu let verificere at den fundamentale identitet

er opfyldt. Endvidere følger additionssætningerne

De er analoge til relationene for de tilsvarende trigonometriske funktionene med summen af to vinkler som argument. Sætter man her x = y, følger det fra den første identitet at

mens fra den sidste følger det at

Derfor har man også at

På samme måde gælder

således at

Heraf følger de tilsvarende relationer

Afledte[redigér | redigér wikikode]

Da den afledte af eksponentialfunktionen tilfredsstiller

er de afledte funktioner af de hyperbolske funktioner ganske enkelt givet ved

Det kan så benyttes til at vise at

Taylor-udviklinger[redigér | redigér wikikode]

Fra Taylor-rækken til eksponentialfunktionen følger direkte at

og viser tydelig at det er en ulige funktion, nemlig sinh(-x) = -sinhx. På samme måde er

i overensstemmelse med at den er en lige funksjon, nemlig cosh(-x) = cosh(x). Taylor-rækkerne til tangens-funktionerne bliver dermed

hvor Bn er n-te det Bernoulli-tal.

Inverse hyperbolske funktioner[redigér | redigér wikikode]

Plot af invers hyperbolsk funktion arsinhx.
Plot af invers hyperbolsk funktion arcoshx.
Plot af invers hyperbolsk funktion artanhx.

Da argumentet til de hyperbolske funktioner har angiver et areal, kaldes de inverse funktioner ofte for arealfunktioner. For eksempel kaldes den inverse funktionen til sinh derfor arsinh, og den inverse til cosh er arcosh. De skal alle opfylde de basale krav til inverse funktioner, for eksempel

Denne ligningen kan løses ved at skrive x = sinhu  sådan at u = arsinhx. Ved at bruge definitionen af hyperbolsk sinus, finder man direkte ligningen eu - e-u = 2x eller

som er en andengradsligning for eu. Da denne må være positiv, er der kun en løsning eu = x + √(x2 + 1) eller

Det er let at kontrollere at dette stemmer da x + √(x2 + 1) = sinhu + coshu = eu. For de andre funktioner finder man tilsvarende at

Afledte[redigér | redigér wikikode]

Taylor-udviklinger[redigér | redigér wikikode]

og hvorfra man også har arcothx = artanh(1/x).

integraler[redigér | redigér wikikode]

Fra de afledte funktioner af de hyperbolske funkstionene følger direkte integralerne

hvor C  er en integrationskonstant. Andre integraler kan udtrykkes ved de inverse funktioner. For eksempel i integraler som involverer √(x2 + a2) kan man sætte x = a sinhu sådan at kvadratroden √(x2 + a2) = coshu. Sammen med dx = a coshu du giver det for eksempel integralet

Samme metode med x = a coshu giver ligeledes

mens substitutionen x = a tanhu gør det muligt at finde integralet

når |x| < |a|. Hvis ikke, er svaret givet ved arcoth(x/a). Mere komplicerede integraler kan findes med de substitutioner analogt med tilsvarende integraler som kan udtrykkes ved trigonometriske funksjoner.

Litteratur[redigér | redigér wikikode]

  • M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Books, New York (1964). ISBN 0-486-61272-4.

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]