Fouriertransformation

Fouriertransformation også kaldet Fourierafbildning er en matematisk funktion der bruges inden for blandt andet signalbehandling. For eksempel kan man med Fouriertransformation "måle" hvilke rene toner der indgår i en digital indspilning af en stump musik. Man kan betragte en Fouriertransformation som en måde at nedbryde en funktion så alle dens frekvenskomponenter bliver adskilt i et spektrum. Omvendt vil en invers Fouriertransformation af et spektrum resultere i funktionen selv. Man kan sammenligne det med at tage en akkord (funktionen) og adskille den i de enkelte toner (frekvenser), som den indeholder. En mere matematisk måde at opfatte Fouriertransformationen på er som operation der repræsenterer en funktion som en sum af sinus og cosinus funktioner.

Transformationen er opkaldt efter den franske matematiker Joseph Fourier. Fourierrækker er nært beslægtet område.

Matematikken bag Fouriertransformationen

Fouriertransformation af et kontinuert-tidssignal $x(t)$ er givet ved følgende integral:

$X(\omega) = \int^{\infty}_{-\infty} x(t) \, e^{-i\omega t} \, dt$.

Her er $\omega$ vinkelfrekvensen, $e$ er grundtallet for den naturlige logaritme og $i$ er den imaginære enhed. Denne operation betegnes også som Fourieranalyse. Tilsvarende kan den inverse Fouriertransformation defineres som:

$x(t) = \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}X(\omega) \, e^{i\omega t} \, d\omega$

Den inverse operation betegnes også som Fouriersyntese. I mange sammenhænge er $x(t)$ en reel funktion, mens $X(\omega)$ ofte bliver til en kompleks funktion.

Bruger man den cykliske frekvens $\nu = \omega / 2\pi$ i stedet for vinkelfrekvensen $\omega$ får man Fourierintegralerne til at blive:

$X(\nu) = \int^{\infty}_{-\infty} x(t) \, e^{-i2\pi\nu t} \, dt$

$x(t) = \int^{\infty}_{-\infty}X(\nu) \, e^{i2\pi\nu t} \, d\nu$

Med Eulers formel kan man omskrive Fourierintegralerne så de bliver udtrykt med sinus og cosinus funktionerne:

$\begin{align} X(\omega) &= \int^{\infty}_{-\infty} x(t) \, e^{-i\omega t} \, dt \\ &= \int^{\infty}_{-\infty} x(t) \, ( \cos(\omega t) -i \sin(\omega t) ) \, dt \\ &= \int^{\infty}_{-\infty} x(t) \, \cos(\omega t) \, dt - i \int^{\infty}_{-\infty} x(t) \, \sin(\omega t) \, dt \\ \end{align} \,$

Alternative definitioner

Fouriertransformationen og dens inverse transformation kan også defineres på andre måder:

$X(\omega) = a \int^{\infty}_{-\infty} x(t) \, e^{-i\omega t} \, dt$.

$x(t) = b \int^{\infty}_{-\infty}X(\omega) \, e^{i\omega t} \, d\omega$

Her skal det gælde at $ab = 1/(2\pi)$. Indenfor visse områder bruger man følgende normalisering: $a = b = 1/\sqrt{2\pi}$.

Diskret Fouriertransformation

Hvis tiden $t$ og (vinkel)frekvensen $\omega$ bliver diskretiseret og er endelige taler man om diskret Fouriertransformation (DFT). DFT udføres sædvanligvis med en hurtig algoritme kaldet FFT efter engelsk fast Fourier transform. Den diskrete Fouriertransformation kan defineres som:

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\, e^{-i2\pi kn/N}, \quad k = 0, 1,\ldots, N-1$

Den tilsvarende inverse diskrete Fouriertransformation defineres da som

$x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, e^{i2\pi kn /N}, \quad n = 0, 1, \ldots, N-1.$

Se også

• Diskret cosinustransformation (DCT)
• Fast Fourier Transform (FFT)
• Wavelet-transformation (WT)
• Diskret wavelet-transformation (DWT)
• Fast wavelet-transformation (FWT)

Henvisning

• Mogens Oddershede Larsen, Fourieranalyse, 2. udgave, 2007.