Bruger:Peh-herlev/sandkasse-Vinduesfunktion

    Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
    Scientist.svgSvært stof
    Denne artikel omhandler svært stof. Der er endnu ikke taget hensyn til ikke-eksperter. Du kan hjælpe ved at skrive en letforståelig indledning.

    Type af matematiske funktioner som typisk anvendes inden for signalbehandling. Vinduesfunktioner bruges sammen med signaler i tidsdomæne (Som signalet ser ud på et Oscilloskop).


    Vinduesfunktionen kan anvendes ved konstruktionen af digitale filtre og ved beregning af frekvensindhold af et signal fouriertransformation (DFT, FFT).

    Ved at tilføje (multiplicere) en vinduesfunktion på et signal tilfører man vinduesfunktionens frekvens respons og bestemmer derved selektiviteten og side-”laper” (engelsk lobs). For at forstå konsekvensen af vinduesfunktionen er man nødt til at forstå sammenhænget mellem enhedsrespons og frekvensindhold (Laplacetransformation).


    Vinduesfunktionseksempler[redigér | rediger kildetekst]

    Terminology:

    • Repræsenterer bredden, i samples, i et diskrete tids system. Når N er et ulige antal, vil et ikke fladt vindue have et enkelt toppunkt. Når N er lige, har det et dobbelt toppunkt.
    • Hver figur tekst inkluderer tidsfunktionen, den resulterende frekvens respons og ækvivalente støjbåndbredden (B), i DFT bins enheder.


    Rektangulærlvindue[redigér | rediger kildetekst]

    Rectangular-vindue; B=1.00

    Det rektangulærlvindue kaldes sometider også for Diracs deltafunktion. Det har værdien 1 for alle værdier fra n=0 til n=N. For værdier af n < 0 eller n > N er værdien 0.


    Trekant-vindue[redigér | rediger kildetekst]

    Bartlett-vindue; B=1.33

    Trekant-vindue med nul i enderne:


    Triangular-vindue; B=1.33

    Uden nul i enderne:


    Hanning-vinduet (Hann-vindue)[redigér | rediger kildetekst]

    Hanning vindue; frekvens respons

    Hanning-vinduet (eller Hanning vinduesfunktion) er en matematisk funktion der bruges indenfor digital signalbehandling. Den er opkaldt efter Julius Ferdinand von Hann. Dets matematisk form er

    [notes 1]


    Hamming-vinduet[redigér | rediger kildetekst]

    Hamming-vindue; B=1,37.

    Hamming-vinduet (eller Hamming vinduesfunktion) er en matematisk funktion der bruges indenfor digital signalbehandling. Den er opkaldt efter amerikaneren Richard Hamming. Dets matematisk form er

    Hanning-vinduet er en funktion der har næsten sammen matematisk form, mens andre vinduesfunktioner er det rektangulære vindue, det triangulære vindue og Kaiser-vinduet. I forhold til det rektangulære og det triangulære vindue har Hamming-vinduet forholdsvis små "sidelapper" (engelsk: side lobes).

    Tukey-vinduer[redigér | rediger kildetekst]

    Tukey-vindue, α=0.5; B=1.22


    Tukey-vinduer,[1][2] også kendt som tapered cosine window, kan betragtes som et Hanning-vindue med breden som er kombineret med et Rektangulærlvindue med breden   Ved α=0 bliver til det et Rektangulærlvindue, og ved α=1 bliver det et Hanning-vindue.

    Cosine-vinduet[redigér | rediger kildetekst]

    Cosine-vindue; B=1.23
    [note 1]
    • også kendt som sine window
    • cosine-vindue


    Lanczos-vinduet[redigér | rediger kildetekst]

    Sinc eller Lanczos-vindue; B=1.30
    • brugt i [Lanczos resampling]
    • for Lanczos-vinduet, sinc(x) er defineret som sin(πx)/(πx)
    • også kendt som sinc window, fordi :
    is the main lobe of a normalized [sinc function]


    Gaussian-vinduer[redigér | rediger kildetekst]

    Gauss-vindue, σ=0.4; B=1.45

    The frequency response of a Gaussian is also a Gaussian (it is an eigenfunction of the Fourier Transform). Since the Gaussian function extends to infinity, it must either be truncated at the ends of the window, or itself windowed with another zero-ended window.[3]

    Since the log of a Gaussian produces a parabola, this can be used for exact quadratic interpolation in frequency estimation.[4][5][6]



    Bartlett–Hann window[redigér | rediger kildetekst]

    Bartlett-Hann window; B=1.46


    Blackman windows[redigér | rediger kildetekst]

    Blackman window; α = 0.16; B=1.73

    Blackman windows are defined as:[note 1]

    By common convention, the unqualified term Blackman window refers to α=0.16.


    Kaiser windows[redigér | rediger kildetekst]

    Kaiser window, α =2; B=1.5
    Kaiser window, α =3; B=1.8
    Nuvola apps download manager2-70%.svg Hovedartikel: Kaiser window.

    A simple approximation of the DPSS window using Bessel functions, discovered by Jim Kaiser.[7][8]

    where is the zero-th order modified Bessel function of the first kind, and usually .

    • Note that:


    Low-resolution (high-dynamic-range) windows[redigér | rediger kildetekst]

    Nuttall window, continuous first derivative[redigér | rediger kildetekst]

    Nuttall window, continuous first derivative; B=2.02
    [note 1]


    Blackman–Harris window[redigér | rediger kildetekst]

    Blackman–Harris window; B=2.01

    A generalization of the Hamming family, produced by adding more shifted sinc functions, meant to minimize side-lobe levels[9][10]

    [note 1]


    Blackman–Nuttall window[redigér | rediger kildetekst]

    Blackman–Nuttall window; B=1.98
    [note 1]


    Flat top window[redigér | rediger kildetekst]

    Flat top window; B=3.77
    [note 1]


    Hann-Poisson window[redigér | rediger kildetekst]

    A Hann window multiplied by a Poisson window, which has no side-lobes, in the sense that the frequency response drops off forever away from the main lobe. It can thus be used in hill climbing algorithms like Newton's method.[11]

    Exponential or Poisson window[redigér | rediger kildetekst]

    Exponential window, τ=N/2, B=1.08
    Exponential window, τ=(N/2)/(60/8.69), B=3.46

    The Poisson window, or more generically the exponential window increases exponentially towards the center of the window and decreases exponentially in the second half. Since the exponential function never reaches zero, the values of the window at its limits are non-zero (it can be seen as the multiplication of an exponential function by a rectangular window [12]). It is defined by

    where is the time constant of the function. The exponential function decays as e = 2.71828 or approximately 8.69 dB per time constant.[13] This means that for a targeted decay of D dB over half of the window length, the time constant is given by



    Comparison of windows[redigér | rediger kildetekst]

    When selecting an appropriate window function for an application, this comparison graph may be useful. The frequency axis has units of FFT "bins" when the window of length N is applied to data and a transform of length N is computed. For instance, the value at frequency ½ "bin" (third tick mark) is the response that would be measured in bins k and k+1 to a sinusoidal signal at frequency k+½. It is relative to the maximum possible response, which occurs when the signal frequency is an integer number of bins. The value at frequency ½ is referred to as the maximum scalloping loss of the window, which is one metric used to compare windows. The rectangular window is noticeably worse than the others in terms of that metric.

    Other metrics that can be seen are the width of the main lobe and the peak level of the sidelobes, which respectively determine the ability to resolve comparable strength signals and disparate strength signals. The rectangular window (for instance) is the best choice for the former and the worst choice for the latter. What cannot be seen from the graphs is that the rectangular window has the best noise bandwidth, which makes it a good candidate for detecting low-level sinusoids in an otherwise white noise environment. Interpolation techniques, such as zero-padding and frequency-shifting, are available to mitigate its potential scalloping loss.

    Overlapping windows[redigér | rediger kildetekst]

    When the length of a data set to be transformed is larger than necessary to provide the desired frequency resolution, a common practice is to subdivide it into smaller sets and window them individually. To mitigate the "loss" at the edges of the window, the individual sets may overlap in time. See Welch method of power spectral analysis and the Modified discrete cosine transform.


    Vindue funktion og fouriertransformation[redigér | rediger kildetekst]

    En hoved anvendelse for vinduesfuntioner er sammen med fouriertransformation, uanset om det drejer sig om diskret fouriertransformation (FFT / DFT).

    Illustration af Hanning-vindue ganget på signal før FFT funktion. FFT-Vindue-illustration.png

    Tabel over vindues-funktioner[redigér | rediger kildetekst]

    En given vindues-funktion påvirker det beregnet spektrum.

    Oversigt over sammenhæng mellem vindues-funktion og selektivitet
    Vidues-funktion højeste
    "sidelapper"
    (lobes)
    [dB]
    "sidelapper"
    fald
    [dB/okt]
    Forstærkning
    [bin]
    Støjbåndbrede
    [bin]
    (-3dB)
    båndbrede
    [bin]
    (-6dB)
    båndbrede
    [bin]
    Retangulær -13 -6 1.0 1.0 0.89 1.21
    Trekant -27 -12 0.5 1.33 1.28 1.78
    Cos -23 -12 0.64 1.23 1.20 1.65
    Hanning (Cos^2) -32 -18 0.5 1.50 1.44 2.00
    Cos^3 -39 -24 0.42 1.73 1.66 2.32
    Cos^4 -47 -30 0.38 1.94 1.86 2.59
    Hamming -43 -6 0.54 1.36 1.30 1.81
    Riesz -21 -12 0.67 1.20 1.16 1.59
    Riemann -26 -12 0.59 1.30 1.26 1.74
    De La Valle-poussin -53 -24 0.38 1.92 1.82 2.55
    Tukey a = 0.25
    a = 0.50
    a = 0.75
    -14
    -15
    -19
    -18
    -18
    -18
    0.88
    0.75
    0.63
    1.10
    1.22
    1.36
    1.01
    1.15
    1.31
    1.38
    1.57
    1.80
    Bohman -46 -24 0.41 1.79 1.71 2.38
    Poisson a = 2.0
    a = 3.0
    a = 4.0
    -19
    -24
    -31
    -6
    -6
    -6
    0.44
    0.32
    0.25
    1.30
    1.85
    2.08
    1.21
    1.15
    1.75
    1.69
    2.08
    2.58
    Hanning-
    poisson
    a=0.5
    a=1.0
    a=2.0
    -35
    -39
    NONE
    -18
    -18
    -18
    0.43
    0.38
    0.29
    1.61
    1.73
    2.02
    1.54
    1.64
    a.87
    2.14
    2.30
    2.65
    Cauchy a=3.0
    a=4.0
    a=5.0
    -31
    -35
    -30
    -6
    -6
    -6
    0.42
    0.33
    0.28
    1.48
    1.76
    2.06
    1.34
    1.50
    1.68
    1.90
    2.20
    2.53
    Gaussian a=2.5
    a=3.0
    a=3.5
    -42
    -55
    -69
    -6
    -6
    -6
    0.51
    0.43
    0.37
    1.39
    1.64
    1.90
    1.33
    1.55
    1.79
    1.86
    2.18
    2.52
    Dolph-
    Chebyshev
    a=2.5
    a=3.0
    a=3.5
    a=4.0
    -50
    -60
    -70
    -80
    0
    0
    0
    0
    0.53
    0.48
    0.45
    0.42
    1.39
    1.51
    1.62
    1.73
    1.33
    1.44
    1.55
    1.65
    1.85
    2.01
    2.17
    2.31
    Kaisser-
    Bessel
    a=2.0
    a=2.5
    a=3.0
    a=3.5
    -46
    -57
    -69
    -82
    -6
    -6
    -6
    -6
    0.49
    0.44
    0.40
    0.37
    1.50
    1.65
    1.80
    1.93
    1.43
    1.57
    1.71
    1.83
    1.99
    2.20
    2.39
    2.57

    [1]

    Eksterne henvisninger[redigér | rediger kildetekst]

    1. ^ a b Harris, Fredric j. (jan. 1978). "On the use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform" (PDF). Proceedings of the IEEE. 66 (1): 51-83. doi:10.1109/PROC.1978.10837. {{cite journal}}: Cite har en ukendt tom parameter: |coauthors= (hjælp)CS1-vedligeholdelse: Dato automatisk oversat (link) Article on FFT windows which introduced many of the key metrics used to compare windows.
    2. ^ Tukey, J.W. (1967). "An introduction to the calculations of numerical spectrum analysis". Spectral Analysis of Time Series: 25-46.
    3. ^ https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Gaussian_Window_Transform.html
    4. ^ https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Matlab_Gaussian_Window.html
    5. ^ https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Quadratic_Interpolation_Spectral_Peaks.html
    6. ^ https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Gaussian_Window_Transform_I.html
    7. ^ https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Kaiser_Window.html
    8. ^ https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Kaiser_DPSS_Windows_Compared.html
    9. ^ https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Blackman_Harris_Window_Family.html
    10. ^ https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Three_Term_Blackman_Harris_Window.html
    11. ^ https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Hann_Poisson_Window.html
    12. ^ Smith, Julius O. III (April 23), Spectral Audio Signal Processing, hentet November 22, 2011 {{citation}}: Tjek datoværdier i: |date= og |year= / |date= mismatch (hjælp)
    13. ^ Gade, Svend; Herlufsen, Henrik (1987). "Technical Review No 3-1987: Windows to FFT analysis (Part I)" (PDF). Brüel & Kjær. Hentet november 22, 2011.{{cite web}}: CS1-vedligeholdelse: Dato automatisk oversat (link)

    Noter[redigér | rediger kildetekst]

    1. ^ Vinduer med formen:
      har kun 2K+1 ikke-nul DFT koefficienter, hvilket gør dem gode valg for applikationer der kræver windowing by convolution in the frequency-domain. I de applikationer er DFT af den vinduesløse data vektor påkrævet til et andet formål end ved spektralanalyse.
    MatematikSpire
    Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.



    Fodnotefejl: <ref>-tags eksisterer for en gruppe betegnet "note", men der blev ikke fundet et tilsvarende {{reflist|group="note"}}, eller et afsluttende </ref>-tag mangler