Debye-Hückel-ligningen

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
(Omdirigeret fra Debye-Hückel-ligning)
Spring til navigation Spring til søgning
Debye-Hückel-ligningen beskriver interagerende ladningsbærere i form af ioner og evt. elektroner. Et hverdagseksempel er køkkensalt opløst i vand.

I plasmaer og elektrolytter beskriver Debye-Hückel-ligningen, hvordan det elektriske felt spreder sig pga. elektrisk skærmning; dvs. når ladninger udligner hinanden. Ligningen blev formuleret af Peter Debye og Erich Hückel i 1923.[1]

Ligningen[redigér | redigér wikikode]

Debye-Hückel-ligningen er givet ved:

hvor

  • er nabla-operatoren
  • er det elektriske potentiale, dvs. potentiel energi pr. ladning
  • er elementarladningen
  • er den enkelte type ladningsbærer
  • er ladningstallet
  • er densiteten af den enkelte type, når potentialet er nul
  • er den elektriske permittivitet
  • er Boltzmanns konstant
  • er temperaturen
  • og er densiteten af eksterne ladninger.

Faktoren foran på højresiden skrives ofte som , hvor er en karakteristisk længde kaldet Debye-længden.[2]

Udledning[redigér | redigér wikikode]

Det elektriske felt fra en ladningsdensitetet er generelt givet ved Gauss' lov:

Det elektriske potentiale , dvs. potentiel energi pr. ladning, er relateret til det elektriske felt ved

og derfor er det relateret til ladningsdensiteten ved en Poisson-ligning:

Plasma og elektrolytter består af mobile ladninger i form af ioner og elektroner. Densiteten af hver af disse giver samlet ladningsdensiteten:

Indsættes udtrykket for ladningsdensiteten i relationen for det elektriske potentiale, ses det, at

Interaktionsenergien mellem en ladningsbærer og det elektriske felt er givet ved:

Densiteten kan dermed findes vha. Boltzmann-fordelingen:

hvor er densiteten, hvis potentialet er nul. Det antages her, at hele systemet har opnået termodynamisk ligevægt og dermed har samme temperatur overalt. Dermed bliver ligningen for :

Hvis der er eksterne ladninger kan de lægges til:

Dette er Poisson-Boltzmann-ligningen. Ud fra denne differentialligning kan findes, skønt det ofte er nødvendigt at finde en numerisk løsning.

Alternativt kan differentialligningen simplificeres, hvis den elektrostatiske energi er meget mindre end den termiske energi:

Eksponential-funktionen kan da tilnærmelsesvist skrives som en Taylor-ekspansion til første orden:

Poisson-Boltzmann-ligningen reducerer da til:

Hvis systemet samlet set er elektrisk neutralt, giver den første sum nul:

Differentialligningen er dermed:

Dette er Debye-Hückel-ligningen, der er langt simplere at løse end Poisson-Boltzmann-ligningen. Uden eksterne ladninger har ligningen form som en Helmholtz-ligning.[3] Mere kompakt skrives faktoren foran potentialet ofte som kappa kvadreret:

Jo større er, jo hurtigere ændrer potentialet sig, og jo hurtigere svækkes den elektrostatiske interaktion. Den karakteristiske længde er dermed:

og altså

Dette kaldes Debye-længden. Det ses, at den falder, jo flere ladninger er i systemet, da de er skærmende. Den stiger derimod med temperatur, der introducerer mere uorden. Udtrykket kan forkortes ved at skrive

hvor er Bjerrum-længden.[2]

Kildehenvisninger[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ Debye, Peter; Hückel, Erich (1923). "Zur Theorie der Elektrolyte. I. Gefrierpunktserniedrigung und verwandte Erscheinungen" (PDF). Physikalische Zeitschrift (tysk). 24 (9): 185-206. 
  2. ^ a b Kardar, Mehran (2013), Lecture Notes (PDF) (engelsk), Massachusetts Institute of Technology, s. 33-35, hentet 18. januar 2020. 
  3. ^ Wright, M.R. (2007). "section 10.6.10". An Introduction to Aqueous Electrolyte Solutions (engelsk). Wiley. ISBN 978-0-470-84293-5.