Eksponentiel vækst

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Illustrering af hvordan en funktion vokser eksponentielt

Den eksponentielle vækst er en måde, hvorpå en mængde kan forøges eller formindskes. Dette er f.eks. formeringen af bakterier eller henfald af radioaktive stoffer. Renters rente er også et eksempel på en eksponentiel vækst.

Matematisk udformning[redigér | redigér wikikode]

En eksponentiel vækst (også kaldt procentuel vækst) kan skrives på formen f(x)=b \cdot a^x, En eksponentiel vækst vil danne en ret linje på enkeltlogaritmisk papir.

hvor a > 0\, og a \neq 1. a er udviklingshastigheden – også kaldet grundtallet for funktionen.

Bemærk desuden at,

Kendes to punkter A(x_1,y_1) og B(x_2,y_2) kan konstanten a findes ved formlen: a = \sqrt[x_2 - x_1]{\frac{y_2}{y_1}}

b kan herefter findes ud fra A eller B: b = \frac{y_1}{a^{x_{1}}} eller b = \frac{y_2}{a^{x_2}}

Eksponentialfunktion[redigér | redigér wikikode]

Eksponentialfunktionen ex kan defineres på flere forskellige ækvivalente måder som en uendelig række. Specielt kan den defineres ved potensrækken:

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

eller som grænseværdien af en talfølge:

e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.

I disse definitioner er n! fakultetet af n, og x kan eksempelvis være et reelt tal, komplekst tal, et element i en Banachalgebra (eksempelvis en kvadratisk matrix) eller et element i legemet af p-adiske tal.

Eksempel[redigér | redigér wikikode]

Som et eksempel kigges på formeringen af bakterier: Start med fem bakterier og antag at en bakterie deler sig en gang i minuttet. Ved starten, dvs. ved tiden t = 0 haves altså 5 bakterier. Efter et minut haves 10, efter to minutter 20, efter tre minutter 40, efter fire minutter 80.

Matematisk set vil det omtalte eksempel have formlen f(x) = 5 \cdot 2^x, hvor f(x) er antal bakterier og x betegner tiden i minutter. Efter f.eks. 10 minutter vil der altså være f(10) = 5 \cdot 2^{10} = 5.120 bakterier.

Væksthastighed[redigér | redigér wikikode]

Som det kan ses i eksemplet, vokser eksponentielle funktioner meget hurtigt. Det er en kendt regel, at de vokser hurtigere end potensfunktioner. Deres væksthastighed fås ved differentiering: \frac{d}{dx}(b \cdot a^x) = b \cdot ln(a) \cdot a^x Altså: En eksponentiel funktions væksthastighed er i sig selv en eksponentiel funktion. Faktisk vokser hastigheden hurtigere end selve funktionen, grundet det ekstra led ln(a). Og faktisk vokser accelerationen af denne endnu hurtigere, idet: \frac{d}{dx}(b \cdot ln(a) \cdot a^x) = b \cdot ln(a)^2 \cdot a^x

En potentiel udvikling er ikke lige så hurtig. Dette ses tydeligt, idet: \frac{d}{dx}(b \cdot x^a) = b \cdot a \cdot x^{a-1}

Og fortsat:\frac{d}{dx}(b \cdot a \cdot x^{a-1}) = b \cdot a \cdot (a-1) \cdot x^{a-2}

Er funktionen et polynomium, fås snart en konstant: b \cdot a!, som ved næste differentiering bliver væk.

Se også[redigér | redigér wikikode]