Harmonisk række

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Acap.svg Indforstået sprog
Denne artikel er skrevet i et meget indforstået sprog. Du kan gøre artiklen bedre ved at omskrive den i et sprog, der er lettere at forstå for folk uden forudgående viden om emnet.
Musik, harmonisk række

I matematikken er den harmoniske række den uendelige række

Rækken og dens egenskaber[redigér | redigér wikikode]

Rækken kaldes den harmoniske række, fordi bølgelængderne af overtonerne af en vibrerende streng er proportionelle til 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Rækken divergerer (langsomt) mod uendelig. Dette kan vises ved at bemærke, at den harmoniske række er ledvist større end eller lig rækken

som tydeligvis divergerer. (Dette bevis, der skyldes Nicole Oresme, er et højdepunkt i middelalderens matematik.) Faktisk gælder også, at summen af de reciprokke primtal

også divergerer mod uendelig (men dette er væsentligt sværere at bevise.) Den alternerende harmoniske række konvergerer derimod:

Dette er et resultat af Taylorrækken af den naturlige logaritme.

Hvis det n'te harmoniske tal defineres som

gælder, at Hn vokser omtrent så hurtigt som den naturlige logaritme på n. Grunden hertil er, at summen approksimeres af integralet

hvis værdi er ln(n). Mere præcis haves grænseværdien:

hvor γ er Euler-Mascheroni-konstanten. Det er blevet vist, at

  1. Det eneste heltallige Hn er H1.
  2. Differensen HmHn hvor m > n aldrig er et heltal.

Jeffrey Lagarias beviste i 2001, at Riemannhypotesen er ækvivalent med udsagnet

hvor σ(n) er summen af de positive divisorer af n.

Andre relevante definitioner[redigér | redigér wikikode]

Den generelle harmoniske række er på formen

Der gælder, at alle harmoniske rækker divergerer.

Rækkerne

for p a positive real number kaldes p-rækkerne. Rækkerne konverger for p > 1 og divergerer ellers. For p = 1 er rækken den harmoniske række. Hvis p > 1 er summen af rækken ζ(p); det vil sige Riemanns zetafunktionp.

Harmoniske middeltal[redigér | redigér wikikode]

Et hvert led i den harmoniske række, er det harmoniske middeltal af sine to naboled

Vi kan sige at b er det harmoniske middeltal mellem a og c. Det underbygges ved

Med de to mellemregninger ovenover fås nu

Se også[redigér | redigér wikikode]