Logistisk vækst

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
fig. 1: Graf for logisitisk vækst er tegnet med rød. Her ses den S-formede graf tydeligt.
fig.2: Denne graf for logistisk vækst er symmetrisk omkring sit skæringspunkt med y-aksen.
fig. 3: Graf for eksponentielt voksende funktion og graf for logistisk vækst med sin øverste vandrette asymptote er tegnet i samme koordinatsystem. Logisitisk vækst stopper ved sit maksimum, som er markeret af den grønne, vandrette linje (asymptote til grafen for logisitisk vækst).

Logistisk vækst er en matematisk model for, hvordan en population af eksempelvis bakterier[1] udvikler sig.[2] Logistisk vækst anvendes også til at bekskrive, hvordan et områdes indbyggere[3] øges til et en maksimal øvre grænse.[4] (Se den røde graf på fig. 1 - 4). Hver af de fire fig. viser noget karakteristisk for grafer for logistisk vækst.

Den logistiske vækst kan forstås som en eksponentielt voksende funktion[5] med et maksimum, .[6] betegnes også bæreevnen.[7] (Se fig. 3 og fig. 4). Den logistiske væksts graf er opstået ved at "klippe" den eksponentielle væksts graf[8] i stykker og så spejlvende den nederste del af den eksponentielt voksende funktions graf.

Forskelle på eksponentiel vækst og logistisk vækst[redigér | redigér wikikode]

Med eksponetiel vækst forstås en eksponentielt voksende funktion og dens graf.

  • Grafen for eksponentiel vækst ikke er symmetrisk, mens grafen for logistisk vækst er symmetrisk. (Se især fig. 2).
  • Eksponentiel vækst fortsætter i det uendelige; hvorimod logistisk vækst stopper ved sit maksimum.[9] (Se fig. 3).

Differentialligningen[redigér | redigér wikikode]

Matematisk er forskriften for logistisk vækst den ikke-trivielle[10] løsning[11] til differentialligningen:[12]

Differentialligningen er et andengradspolynomium[13] af . Det ses ved at multiplicere[14] ind i parentesen.[15]

Variant af differentialligningen[redigér | redigér wikikode]

Ved at udskifte og ved at erstatte med kan differentialligningen[16] se sådan ud:

Forskrift for logistisk vækst[redigér | redigér wikikode]

Differentialligningens ikke-trivielle[17] løsning[11] har forskriften:[18]

Variant af forskriften for logistisk vækst[redigér | redigér wikikode]

I forskriften for logistisk vækst kan erstattes af en brøk,[16] hvor der gælder:

Bemærk, at forskriftens nævner også ændres, når tælleren ændres.

Om bevis og andet[redigér | redigér wikikode]

· Der kan føres bevis for, at forskriften for logistisk vækst er ovennævnte differentiallignings løsning.[11]

· En anden mulighed for at bevise differentialligningens løsning er at anvende substitution:[19] Man kan eksempelvis indføre følgende substitution: som gælder, for

Derved kan man omdanne ovennævnte differentialligning til en første ordens lineær differentialligning, som kan løses ved metoden separation af de variable.

· For de viste grafer for logistisk vækst (fig. 1 - 4) gælder, at konstanten [11]

Grafers udseende[redigér | redigér wikikode]

Af fig. 1 og fig. 2 fremgår det, at grafer for logistisk vækst kan variere, men der er tale om varianter af den samme skabelon.[20] Grundlæggende har hver graf symmetri og to vandrette asymptoter. En grafs S-form kan være mere eller mindre tydelig: En graf kan være langstrakt (se fig. 2) eller klumpet sammen (se fig. 1).

S-form og symmetri[redigér | redigér wikikode]

Grafen for logistisk vækst er en S-formet kurve[21] (se fig. 1), som er symmetrisk (se fig. 2).

Grafen er symmetrisk omkring punktet og væksthastigheden er størst[22] for

To vandrette asymptoter[redigér | redigér wikikode]

fig. 4: Graf for logistisk vækst har to vandrette asymptoter.

Man ser, at grafen for logisitsk vækst har to vandrette asymptoter:[23]

  • Den øverste asymptote er (se den grønne vandrette linje på fig. 4)
  • Den nederste asymptote er (altså -aksen, som er vandret.) Se den gule vandrette linje på fig. 4

Karakteristik af logistisk vækst[redigér | redigér wikikode]

Man inddeler logistisk vækst i tre faser:[24]

  1. Den langsomt voksende start-fase, som er næsten vandret.
  2. Den hurtigt voksende midt-fase, som er næsten lodret. (Det ses bedst på fig. 1)
  3. Den langsomt voksende slut-fase, som er næsten vandret.


Dette eksempel tager udgangspunkt i bakterier, som vokser i laboratoriets petriskål:

  1. I starten er der kun få bakterier, så de formerer sig kun langsomt. Dette ses på grafen ved at grafen er meget tæt på -aksen (som markerer den nederste vandrette asymptote).
  2. I midten af forløbet er der flere bakterier, så de kan formere sig hurtigere. Dette ses på grafen som det næsten lodrette stykke.
  3. I slutningen af forløbet bliver mangel på plads[24] og mangel på føde til problemer for bakteriernes vækst. Forurening er også et problem. Dette ses på grafen, ved at grafen er meget tæt på maksimum (som markerer den øverste vandrette asymptote).

For eksemplet med baktier er differentialligningen typisk:

hvor brøken betegner baktiernes væksthatighed. Væksthatigheden er proportional med differencen mellem maksimum og antallet af baktier . Konstaten er proportionalitetsfaktor.[25]

Differentialligningen, som beskriver baktiernes vækst, har den ikke-trivielle løsning:

hvor er en konstant, som man kan beregne, hvis man kender de andre værdier, som forekommer i løsningsformlen.[25]

Logistisk vækst kan bl.a. anvendes til at beskrive, hvordan[redigér | redigér wikikode]

Kort sagt anvendes logistisk vækst i både biologi[25] og demografi.

Ophavsmand[redigér | redigér wikikode]

Den logistiske vækst blev introduceret af den belgiske matematiker Pierre François Verhulst[34] (1804 - 1849)[35] i perioden 1838[36] - 1847.

Logistisk regression[redigér | redigér wikikode]

Logistisk regression er en type regression, som estimerer,[37] hvor godt parametre passer med logistisk vækst.[38]

Se også[redigér | redigér wikikode]

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]

Bøger[redigér | redigér wikikode]

  • Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. ISBN 87-7351-287-7
  • Jessen, Claus m.fl. (1995): Differentialregning: gymnasiematematik, obligatorisk niveau. Matematik - tanke, sprog og redskab. København, Gyldendal Undervisning. ISBN: 87-00-19936-2
  • Hebsgaard, Thomas m.fl. (1995): Matematik højniveau 2: integralregning og differentialligninger. Forlaget Trip, Vejle. ISBN: 87-88049-17-5
  • Touborg, Jens Peter (red.) (1995): Eksamensopgaver i matematik: gymnasiet: matematisk linje, højt niveau. Matematiklærerforeningen, København. ISBN 87-89229-76-2

Referencer[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ https://denstoredanske.lex.dk/logistisk_v%C3%A6kst
  2. ^ https://denstoredanske.lex.dk/logistisk_vækst?utm_source=denstoredanske.dk&utm_medium=redirectFromGoogle&utm_campaign=DSDredirect
  3. ^ Touborg (1995) s. 67
  4. ^ http://www.henrikkragh.dk/logistisk-vaekst/AndreasHermansen2015.pdf
  5. ^ http://www.lr-web.dk/Lru/microsites/hvadermatematik/hem2download/kap6_Projekt_6_4_Diskret_logistisk_vaekst_prototype_for_kaosteori.pdf
  6. ^ http://www.lr-web.dk/Lru/microsites/hvadermatematik/hem3download/kap3b_QR9_historien_om_Verhulst.pdf
  7. ^ https://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/tillaeg_differentialligninger_beviser_modeller.pdf
  8. ^ https://www.repetico.de/card-67469014
  9. ^ https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/differentialligninger/logistisk-vakst
  10. ^ https://www.youtube.com/watch?v=ws1LE78H2Ow
  11. ^ a b c d http://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Differentialligninger.pdf
  12. ^ https://steen-toft.dk/mat/20082009/3y/noter/log-diff.pdf
  13. ^ https://quizlet.com/289744870/logistisk-differentialligning-flash-cards/
  14. ^ https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-c/tal-og-regnearter/parenteser
  15. ^ https://www.regneregler.dk/parenteser
  16. ^ a b http://www.jyttemelin.dk/Eksamen/formelsamling%20uvm.pdf
  17. ^ https://www.youtube.com/watch?v=csI7cGe3CnQ
  18. ^ Hebsgaard (1995) s. 75
  19. ^ (Carstensen & Frandsen 1985)
  20. ^ Jessen (1995)
  21. ^ https://www.geogebra.org/m/fQ9SSbZ5
  22. ^ http://www.mat1.dk/differentialligninger_for_a_niveau_i_stx.pdf
  23. ^ https://steen-toft.dk/mat/20082009/3y/noter/log-diff.pdf
  24. ^ a b c https://www.u-helmich.de/bio/lexikon/L/logistisches_Wachstum.html
  25. ^ a b c http://www.mat1.dk/logistisk_differentialligning.pdf
  26. ^ https://szymanskispil.weebly.com/uploads/1/1/7/4/117416942/infinitesimalregning_del_3_x2017.pdf
  27. ^ http://www.lr-web.dk/Lru/microsites/hvadermatematik/hem3download/kap3_projekt_3_5_Kollaps_af_en_population.pdf
  28. ^ https://science-gym.dk/mat/20002010/difflign.pdf
  29. ^ https://www.mn.uio.no/ibv/tjenester/kunnskap/plantefys/leksikon/l/logistisk.html
  30. ^ https://www.pnas.org/content/105/2/582
  31. ^ https://www.grevemuseum.dk/media/24890/modeller-af-befolkningstilva-â-ªkst-mat-a-b1.pdf
  32. ^ Jessen, Claus m.fl. (1995) s. 165-175
  33. ^ http://www.henrikkragh.dk/logistisk-vaekst/AaseGothelf2015.pdf
  34. ^ http://www.lr-web.dk/Lru/microsites/hvadermatematik/hem3download/kap3b_QR9_historien_om_Verhulst.pdf
  35. ^ https://math.au.dk/fileadmin/Files/matlaererdag/2014/HKS_Aarhus-2014-03-28.handouts.pdf
  36. ^ https://oparu.uni-ulm.de/xmlui/bitstream/handle/123456789/7713/Wachstum.pdf?sequence=1&isAllowed=y
  37. ^ https://education.ti.com/sites/DANMARK/downloads/pdf/Logistisk_vaekst_TINspire_samlet_ver2.pdf
  38. ^ http://staff.pubhealth.ku.dk/~lts/basal/overheads/logistisk_regression.pdf