Separation af de variable

fig. 1 viser separation af de variable for proportional første ordens differentialligning.

fig. 2 viser separation af de variable for lineær første ordens differentialligning.

Separation af de variable er en matematisk metode til at løse separabel første ordens differentialligninger.

Metoden anvendes, hvor differentialkvotienten af $y$ er lig med en funktion af $x$ multipliceret med en funktion af $y$:

${\frac {\mathrm {d} {y}}{\mathrm {d} {x}}}={g(x)}\cdot {h(y)}$

<=> Ved først at tage forbehold: $h(y)\neq 0$ og så separere de variable: Man dividerer med $h(y)$ og multiplicerer med $dx$ sådan:

${\frac {1}{h(y)}}\cdot dy=g(x)\cdot dx$

<=> Man fjerner gange-tegn og tilføjer integral-tegn på begge sider: Det ubestemte integrale af $1$ divideret med funktionen af $y$ er lig med det ubestemte integral af funktionen af $x$:

$\int {\frac {1}{h(y)}}\mathrm {d} {y}=\int {g(x)}\mathrm {d} {x}$

<=> Herefter omdanner man til en almindelig ligning ved at skrive to stamfunktioner:

$H(y)=G(x)+\alpha ,\alpha$ er et reelt tal

$\alpha$ er en fælles integrationskonstant.

og dermed er det lettere at isolere $y$ i den almindelige ligning.

Software

Der findes CAS-software, som kan foretage separation af de variable: bl.a. Xcas

Xcas foretager separation af de variable med denne kommando:

split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Kilder

Bøger

• Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. ISBN 87-7351-287-7
• Hebsgaard, Thomas m.fl. (1990): Matematik højniveau 2. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-17-5

Refererede online

• Bentzen, Steen (uden år): ”Matematik for Gymnasiet. Differentialligninger og matematiske modeller”. url: https://uvmat.dk/bentzen/DIFF%202%20-%20Kap.%201-7.pdf (dansk)
• Camilus, Astrid Krogstrup (2012): Valideringssituationer i undervisningsforløb om differentialligninger og radioaktivitet. url: https://www.ind.ku.dk/publikationer/studenterserien/studenterserie27/27-Astrid-Camilus.pdf Arkiveret 30. december 2019 hos Wayback Machine (dansk)
• Fedun, Viktor (uden år): Integration and Differential Equations. url: http://v-fedun.staff.shef.ac.uk/Integration%20and%20Differential%20Equations/ACS123_lecture_4.html Arkiveret 4. december 2019 hos Wayback Machine (engelsk)
• Grothaus, Christoph (uden år): Beispiele einfacher Differentialgleichungen aus der Natur. url: https://www.spektrum.de/spektrum/projekt2/gaes3.htm Arkiveret 29. december 2019 hos Wayback Machine (tysk)
• Hjersing, Niels m.fl. (2002): Differentialligninger. Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning. url: https://science-gym.dk/mat/20002010/difflign.pdf (dansk)
• Khan Academy (uden år): Separable differential equations: url: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differential-equations-new/ab-7-6/a/applying-procedures-for-separable-differential-equations (engelsk)
• Larsen, Jacob (uden år): Separation af de variable. HTX Slagelse. url: http://www.nqrd.dk/Naturvidenskab/Sider/Matematik/Seperation%20af%20de%20variable.pdf (dansk)
• Math Insight (uden år): Solving linear ordinary differential equations using an integrating factor. url: https://mathinsight.org/ordinary_differential_equation_linear_integrating_factor (engelsk)
• Raumzeit für Alle (uden år): Die homogene Differentialgleichung. url: http://www.raumzeit-fuer-alle.de/Tutorial%20GDGLn%20Band%201%20Exzerpt.pdf (tysk)
• Stoustrup, Sofie (2010): En analyse af differentialligninger på Aniveau i STX ud fra den antropologiske didaktiske teori. url: https://www.ind.ku.dk/publikationer/studenterserien/studenterserie18/Speciale_Sofie_Stoustrup.pdf Arkiveret 30. december 2019 hos Wayback Machine (dansk)
• Søgaard Hansen, Henrik (uden år): Differentialligninger. url: http://intranet.sctknud-gym.dk/lrere/HS/Noter/Differentialligninger_Nspire.pdf (dansk)
• Varsity Tutors (uden år): Differential Equations: Separable Variables. url: https://www.varsitytutors.com/differential_equations-help/separable-variables (engelsk)
• Wehinger, Gert D. (1996): Hohe und chronische Inflation. Probleme, Entstehung und Stabilisierung in theoretischer Analyse. url: http://gert.wehinger.free.fr/GW_Buch.pdf (tysk)

Øvrige online

• http://www2.gcc.edu/dept/math/faculty/BancroftED/teaching/handouts/sep_of_var_examples.pdf (engelsk)
• https://www.math24.net/separable-equations/ (engelsk)
• https://tu-dresden.de/bu/umwelt/hydro/iak/ressourcen/dateien/systemanalyse/studium/folder-2009-01-29-lehre/systemanalyse/folder-2010-04-12-1173264546/wws-05.pdf?lang=en (tysk)

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.