Russells paradoks
Russells paradoks er udviklet af filosoffen Bertrand Russell i 1901 som kritik af Gottlob Freges bog Begriffsschrift fra 1879. Formelt lyder paradokset således:
"Mængden R indeholder alle mængder som ikke indeholder sig selv. Indeholder R sig selv?"
En populær version af paradokset lyder således: "I en by er der en barber, som kun barberer alle dem, der ikke barberer sig selv. Hvem barberer nu barberen? Hvis barberen barberer sig selv, så tilhører barberen ikke mængden af alle dem, der ikke barberer sig selv. Hvis barberer omvendt ikke barberer sig selv, men bliver barberet af en anden, så barberer han ikke alle, der ikke barberer sig selv - barberen ville jo mangle at barbere sig selv."
Når Russell opstiller paradokset, så er det ikke fordi han mener, at der faktisk foreligger et paradoks. Han gør det blot for at klargøre et logisk problem. Han mener, at der kun tilsyneladende er tale om et paradoks. Paradokset er udtryk for, at man har brudt nogle af logikkens regler.[1]
Paradokset
[redigér | rediger kildetekst]Betegnelsen "klasse" er et vigtigt ord, som man både bruger i matematikken og i logikken, og det er dette ord, der ender med at volde logiske problemer i dette paradoks.[2] Eksempler på en klasse er klassen af antikkens filosoffer, klassen af anarkistiske samfund eller klassen af pattedyr. En klasse består af medlemmerne af denne klasse, og disse medlemmer har bestemte egenskaber fælles.
Så kan man spørge, om en klasse kan være medlem af sig selv. Hvis man f.eks. taler om klassen af abstrakte begreber, så synes denne klasse selv at være et abstrakt begreb. På den anden side er de fleste klasser ikke medlem af sig selv. Klassen af alle danskere er ikke en dansker. Klassen af konkrete ting er ikke selv en konkret ting. Man kan således skelne mellem klasser der er medlem af sig selv, og klasser der ikke er medlem af sig selv.
Man kan også tale om klassen af alle de klasser der ikke er medlem af sig selv. Er denne klasse nu medlem af sig selv? Her viser det sig, at man ender i en selvmodsigelse, uanset om man svarer ja eller nej.
Hvis man siger, at klassen af alle klasser der ikke er medlemmer af sig selv, er medlem af sig selv, så modsiger man dermed, at den ikke er medlem af sig selv. Hvis man siger at denne klasse ikke er medlem af sig selv, så siger man dermed, at klassen er medlem af sig selv - da den jo er medlem af den klasse, der består af alle de klasser, der ikke er medlem af sig selv.[3]
Løsning
[redigér | rediger kildetekst]Russell forslog denne løsning på paradokset: Man inddeler ting og mængder i logiske typer. Enkeltting tilhører type 0; klassen af enkeltting tilhører type 1; klassen af klasser af type 1 tilhører type 2; klassen af klasser af type 2 tilhører type 3. Og så videre.[4] Det gælder om at holde typerne ude fra hinanden. Man må ikke bruge et ord eller et udtryk som om det tilhører en anden type end det faktisk tilhører. I så fald har man brudt logikkens regler, siger Russell.[5]
Man fandt dog hurtigt ud af, at denne løsning er tung at arbejde med, og derfor foreslog man Zermelo-Fraenkel-systemets 6. aksiom som en løsning på paradokset. Denne løsning er meget nemmere at arbejde med.
Se også
[redigér | rediger kildetekst]Referencer
[redigér | rediger kildetekst]Litteratur
[redigér | rediger kildetekst]- Hartnack, Justus (1993): Erkendelsens grundlag. Paradokser inden for logikken og matematikkens filosofi. Reitzels Forlag. ISBN 87-7421-820-4
- Livio, Mario (2009): Is God a Mathematician? Simon & Schuster. ISBN 978-0-7432-9405-8
- Potter, Michael (2004): Set Theory and its Philosophy. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-926973-0
Eksterne henvisninger
[redigér | rediger kildetekst]- Kaplan, Jeffrey (2022). "Russell's Paradox - a simple explanation of a profound problem". YouTube. Hentet 25 november 2023.
{{cite web}}: CS1-vedligeholdelse: Dato automatisk oversat (link)