Logik

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Den græske tænker og filosof Aristoteles anses som faderen til den klassiske logik.

Logik (fra græsk λόγος, logos = sprog, ord, system, samling) er en filosofisk disciplin, der undersøger hvorvidt argumenter er i overensstemmelse med de klassiske tankelove. Navnlig kontradiktionsprincippet, den udelukkede midte og identitetsloven.

Disciplinen kan inddeles i formel og uformel logik.

I formel logik tester man gyldigheden, som har at gøre med hvorvidt de enkelte dele i givne argumenter følger af hinanden (qua strukturen).
I uformel logik tester man sandheden, som har med argumentets indhold og semantik at gøre.

Yderligere begreber man arbejder med er validitet og holdbarhed.
Når man har et argument, hvis præmisser alle er sande, så må konklusionen nødvendigvis også være sand. Dette kaldes validitet.
Når man har et argument, der er både sandt (validt) og hvis konklusion følger af præmisserne (gyldigt), så kaldes det holdbart.

Et eksempel på et argument kan se sådan ud:

  1. Præmis: "Hvis du er en kat, så er du en reptil."
  2. Præmis: "Du er en kat."
  3. Konklusion: "Derfor er du en reptil."

Vi kan formalisere argumentet således:

  • P1: Hvis A, så B
  • P2: A
  • K: Derfor B

I logiske konnektiver skrives dette også som:

  • A → B
  • A
  • ∴ B

Det pågældende argument er gyldigt, dvs. at konklusionen følger af præmisserne, men det er ikke sandt, da katte for det første ikke er reptiler, men pattedyr, da man for det andet ikke kan være en reptil og et pattedyr på samme tid, og da man for det tredje enten må være en reptil, eller være noget andet end en reptil.

Historisk stammer den klassiske logik fra Aristoteles. Hans syllogismer var standard helt op til 1879, hvor Gottlob Frege udgav sin Begriffsschrift, en milepæl i filosofien og moderne logik, matematik og datalogi.

Områder[redigér | redigér wikikode]

Konnektiver i filosofisk udsagnslogik[redigér | redigér wikikode]

For at udtrykke forskellige dele af udsagn i formel logik, så anvender man såkaldte konnektiver. Disse kan hver især have forskellige tegn, alt efter hvilket sted man studerer ved.

  • Konklusionsindikator (Derfor): ∴ eller ├
  • Negation (Ikke): ¬ eller ~
  • Konjunktion (Og): ᴧ eller • eller &
  • Disjunktion (Eller): v
  • Konditional (Hvis...så): → eller ⊃
  • Bikonditional (A kun, og kun hvis, B): ↔ eller ≡

Sandhedstabeller i filosofisk udsagnslogik[redigér | redigér wikikode]

Forklaring af betydningen af tabellernes indhold[redigér | redigér wikikode]

Type af konnektiv
Et udsagn Et andet udsagn Udsagnsresultat
Udsagnsværdi Udsagnsværdi Udsagnsværdi af udsagnsresultatet
Udsagnsværdi Udsagnsværdi Udsagnsværdi af udsagnsresultatet
Udsagnsværdi Udsagnsværdi Udsagnsværdi af udsagnsresultatet
Udsagnsværdi Udsagnsværdi Udsagnsværdi af udsagnsresultatet

Negation[redigér | redigér wikikode]

Huskeregel: Værdien af negationsudsagnet bliver altid modsat.

Negation
A ¬A
S F
F S

Konjunktion[redigér | redigér wikikode]

Huskeregel: Udsagnsresultatet bliver kun sandt hvis begge udsagnsværdier er sande.

Konjunktion
A B A∧B
S S S
S F F
F S F
F F F

Disjunktion[redigér | redigér wikikode]

Huskeregel: Udsagnsresultatet bliver kun falsk hvis begge udsagnsværdier er falske.

Disjunktion
A B A∨B
S S S
S F S
F S S
F F F

Konditional[redigér | redigér wikikode]

Huskeregel: Udsagnsresultatet bliver kun falsk hvis udsagnsværdierne er s→f.

Konditional
A B A→B
S S S
S F F
F S S
F F S

Bikonditional[redigér | redigér wikikode]

Huskeregel: Udsagnsresultatet bliver kun sandt hvis begge udsagnsværdier er ens.

Bikonditional
A B A↔B
S S S
S F F
F S F
F F S

Eksempler på anvendelsen af sandhedstabeller[redigér | redigér wikikode]

".", "-" og "*" er placeret for mere overblik over udregningsprocessen.
Værdierne af "." bruges til at udregne "-".
Værdierne af "-" bruges til at udregne "*".

a)     (A → B)  ᴧ  (A  ᴧ  ¬B)
A B
T T     T T T   F   T  F  F T
T F     T F F   F   T  T  T F
F T     F T T   F   F  F  F T
F F     F T F   F   F  F  T F
        . - .   *   .  -  .
b)       (A → (B v C)) → (A → (B ᴧ C))
A B C
T T T     T T  T T T   T  T T  T T T
T T F     T T  T T F   F  T F  T F F
T F T     T T  F T T   F  T F  F F T
T F F     T F  F F F   T  T F  F F F
F T T     F T  T T T   T  F T  T T T
F T F     F T  T T F   T  F T  T F F
F F T     F T  F T T   T  F T  F F T
F F F     F T  F F F   T  F T  F F F
          . -    .     *  . -    .

Bemærk at ".", "-" og "*"-tegnene i det følgende eksempel ikke bruges til udregninger på tværs af separate dele af det overordnede argument (delene separeres af hhv. komma og konklusionsindikator).

c)      (A → B), ¬(A v B) ⊦ ¬(A ᴧ B)
A B
T T      T T T   F T T T    F T T T
T F      T F F   F T T F    T T F F
F T      F T T   F F T T    T F F T
F F      F T F   T F F F    T F F F
         . - .   * . - .    * . - .

Fremgangsmæssigt starter man med at afvikle parenteserne først (hvis der er flere parenteser: dem med negation først), hvorefter disses værdier bruges til at udregne sætningernes/argumentets hovedkonnektiv.

Metoden for sandhedstabeller kan bruges til at finde ud af om sætninger/argumenter er hhv.:

  • Tautologiske/valide: At alle udsagnsresultaterne er sande i sandhedstabellen.
  • Kontradiktoriske: At alle udsagnsresultaterne er falske i sandhedstabellen.
  • Konsistente: At det er muligt for alle sætningernes/argumentets udsagnsresultater at være sande på samme tid / At der eksisterer mindst ét udsagnsresultat hvor alle sætninger er sande på samme tid / At sammenlægningen af flere sætninger ikke leder til en kontradiktion.
  • Inkonsistente: At der ikke eksisterer mindst ét udsagnsresultat hvor alle sætninger er sande på samme tid.
  • Ækvivalente: At der er flere sætninger, der alle har helt identiske værdier i sandhedstabellen.
  • Gyldige: At der ikke findes et modeksempel.
  • Ugyldige: At et modeksempel findes.

For at klargøre, så er rækkerne fra venstre til højre hver især en mulighed som man udregner ved de givne sætninger/argumenter.

Kvantorer i filosofisk prædikatslogik[redigér | redigér wikikode]

I prædikatslogik bygger man ovenpå udsagnslogikken, og får tilføjet to typer af såkaldte kvantorer. De ser sådan ud:

  • Eksistenskvantoren (mindst én): ∃
  • Universalkvantoren (alle): ∀

De benyttes i forbindelse med at udtrykke mængder i formler.

Der er ækvivalente måder hvorpå begge kvantorer kan bruges (dvs. tilsvarende måder at udtrykke noget på, men via hhv. den ene eller den anden kvantor).
Måderne er som følger:

  • ¬∀xGx (ikke alle er glade)
  • ∃x¬Gx (mindst én er ikke glad)

og

  • ∀x¬Gx (alle er ikke glade)
  • ¬∃xGx (der er ikke mindst én, der er glad/ingen er glade)

Som det også fremgår, så udtrykker man her egenskaber med stort bogstav, og substantiver med lille.
Dette kan stå i kontrast til udsagnslogik, hvor man kan gøre omvendte.

I prædikatslogik lærer man endvidere at teste udsagn, der indeholder disse kvantorer.

Frem for sandhedstabellerne, så bruger man dog her såkaldte sandhedstræer, der er en anden metode.

Sandhedstræer fungerer igennem andre sæt af regler, kaldt hhv. stablingsregler og forgreningsregler.

Stablingsregler i filosofisk logik[redigér | redigér wikikode]

Dobbelt negation[redigér | redigér wikikode]

¬ ¬A
   A

Konjunktion[redigér | redigér wikikode]

 AᴧB
  A
  B

Disjunktion[redigér | redigér wikikode]

¬ (AvB)
   ¬A
   ¬B

Konditional[redigér | redigér wikikode]

¬ (A→B)
    A
   ¬B

Forgreningsregler i filosofisk logik[redigér | redigér wikikode]

Konjunktion[redigér | redigér wikikode]

¬ (AᴧB)
    ∧
  ¬A ¬B

Disjunktion[redigér | redigér wikikode]

  AvB
   ∧
  A  B

Konditional[redigér | redigér wikikode]

   A→B 
    ∧
  ¬A  B

Bikonditional[redigér | redigér wikikode]

   A↔B
    ∧
  A   ¬A
  B   ¬B

Negeret bikonditional[redigér | redigér wikikode]

 ¬ (A↔B)
     ∧
   A   ¬A
  ¬B    B
¬ (A↔B)
    ∧
 ¬A    A
  B   ¬B

Eksempler på anvendelsen af sandhedstræer[redigér | redigér wikikode]

Eksempel uden kvantorer:

                             ¬((pvq) ↔ ¬ (¬p ᴧ ¬q))
                                      ∧
                        p v q                   ¬(p v q)
                   ¬¬(¬p ᴧ ¬q)                  ¬(¬p ᴧ ¬q)
                     (¬p ᴧ ¬q)                  ¬p
                            ¬p                  ¬q
                            ¬q                   ∧
                             ∧              ¬¬p    ¬¬q
                           p   q              p      q  
                           x   x              x      x

Eksempel med kvantorer:
Tallene fra "1a" til "6b" er placeret for mere overblik over udregningsprocessen.
1a er det første skridt, 1b det næste, osv..

∀x(Gx v Sx), ∃x¬Gx ∴ ∀xSx

        ∀x(Gx v Sx)     4a
        ∃x¬Gx           2a
        ¬∀xSx           1a      
        ------------------
        ∃xSx            1b      3a
        ¬Ga             2b
        ¬Sb             3b
        Ga v Sa         4b      5a
        Gb v Sb         6a
           ∧            5b
        Ga   Sa
        x     ∧         6b
            Gb  Sb
                x

Fremgangsmæssigt starter man med at anstille argumentet (ovenfor den stiplede linje).
Dvs. at man sætter hver sætning (adskilt af et komma, eller af konklusionsindikatoren) på hver sin linje.
Konklusionen sætter man et negationstegn foran, da vi her forsøger at modvise argumentet ved at finde et gyldigt modeksempel.

Herefter afvikler man argumentet (under den stiplede linje) ud fra følgende rækkefølge:

  • ¬
  • andre konnektiver
  • stablings- og forgreningsregler (stabling først for mindre, potentielt dobbeltarbejde)

Ved en negeret kvantor omvender man sætningen til et ækvivalent udtryk, for dermed at få fjernet negationen (ækvivalens kom vi ind på med de ækvivalente måder kvantorerne kan bruges på for at udtrykke hinandens udsagn). Den ækvivalente omformulering skrives nederst i ens foreløbige gennemgang.

Når man kommer til afviklingen af eksistenskvantoren, så skal man instantiere.
Dvs. at man skal fjerne eksistenskvantoren samt det lille x efter det, og erstatte det lille x efter eksistenskvantorens store bogstav med et lille bogstav (fra a til w).
Instantieringen (det store bogstav samt det nye, lille bogstav) skriver man så nederst i ens foreløbige gennemgang.
For hver gang man instantierer, så skal man desuden altid bruge et helt nyt, lille bogstav. Et, der ikke er hverken i argumentets originale form, eller er i blandt de bogstaver man selv har brugt til at instantiere.

Ved afviklingen af universalkvantoren, så skal man også instantiere.
Man skal dog her instantiere for samtlige små bogstaver, der indtil videre er i argumentet, inklusiv dem man allerede har brugt til at instantiere.
For hvert instantiering skal man desuden ikke tage nye bogstaver i brug, men i stedet bruge af dem, der allerede er.
Brug ét bogstav per instantiering.
Instantieringerne skrives nederst i ens foreløbige gennemgang.

Efter dette gennemgår man stablings- og forgreningsregler for evt. uafviklede dele.
Disse skrives ligeledes nederst i ens foreløbige gennemgang.

Til sidst tjekker man for modsigelser (fx Sb og ¬Sb) via den korteste rute man kan finde op igennem træet til toppen.
Finder man en modsigelse, så aflukker man grenen som modsigelsen findes i (ved at sætte et x i bunden).

Metoden for sandhedstræer kan bruges til at finde ud af om sætninger/argumenter er hhv.:

  • Konsistente/gyldige/tautologiske: At alle grene lukkes i den negerede version.
  • Inkonsistente/ugyldige/kontradiktoriske: At en eller flere grene ender åbne i den negerede version.
  • Ækvivalente: At alle grene lukkes i den negerede version af et bikonditionalt udsagn.
  • Kontingente: At alle grene i et udsagn ikke lukker helt, samtidigt med at alle grene af dets negation heller ikke lukker helt / At de hver især har mindst én åben gren.

Se også[redigér | redigér wikikode]

Litteratur[redigér | redigér wikikode]

  • Hendricks, Vincent F., Thought 2 Talk: A Crash Course in Reflection and Expression, 2006, New York: Automatic Press / VIP ISBN 87-991013-7-8.
  • Hendricks, Vincent F. og Andur Pedersen, Stig., Moderne elementær logik, 2003, København: Forlaget Høst & Søn. 2. reviderede udgave, 2011
  • Hendricks, Vincent F. og Stjernfelt, Frederik., Tal en tanke: om klarhed og nonsens i tænkning og kommunikation, 2007, København: Samfundslitteratur.
  • Graham Priest, Logic: a very short introduction to logic, Oxford University Press, 2000. Her finder du også en glimrende bibliografi, hvis du vil vide endnu mere.
  • Torben Braüner: Logikkens Muligheder og Grænser. Aktuel Naturvidenskab, 6, 2006.
Commons-logo.svg
Wikimedia Commons har medier relateret til: